高考数学高等学校招生全国统一考试37

高考数学高等学校招生全国统一考试37本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那幺P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那幺P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）函数12log(32)yx的定义域是：（A）[1,)（B）23(,)（C）23[,1]（D）23(,1]（2）设复数zziz2,212则,则22ZZ（A）–3（B）3（C）－3i（D）3i（3）圆222430xyxy的圆心到直线1xy的距离为（A）2（B）22（C）1（D）2（4）不等式221xx的解集是（A）(1,0)(1,)（B）(,1)(0,1)（C）(1,0)(0,1)（D）(,1)(1,)（5）sin163sin223sin253sin313（A）12（B）12（C）32（D）32ABCABCABCABCPPPP（6）若向量a与b的夹角为60，||4,(2).(3)72babab,则向量a的模为（A）2（B）4（C）6（D）12（7）一元二次方程2210,(0)axxa有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（A）0a（B）0a（C）1a（D）1a（8）设P是60的二面角l内一点，,PAPB平面平面,A,B为垂足，4,2,PAPB则AB的长为（A）23（B）25（C）27（D）42（9）若{}na是等差数列，首项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是：（A）4005（B）4006（C）4007（D）4008（10）已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支上，且12||4||PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为：（A）43（B）53（C）2（D）73（11）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（A）110（B）120（C）140（D）1120（12）若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）若在5(1)ax的展开式中3x的系数为80，则_______a.（14）曲线23112224yxyx与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答）（15）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为nS，则lim______nxS.（16）对任意实数K，直线：ykxb与椭圆：)20(sin41cos23yx恒有公共点，则b取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）求函数44sin23sincoscosyxxxx的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]上的单调递增区间。P1P2P3P4（18）（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）的概率的分布列及期望E;（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率。（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，,,//,PAABCDAEPDEFCDAMEF底面（Ⅰ）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（Ⅱ）若3PAAB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。（20）（本小题满分12分）设函数()(1)(),(1)fxxxxaa（Ⅰ）求导数/()fx;并证明()fx有两个不同的极值点12,xx;（Ⅱ）若不等式12()()0fxfx成立，求a的取值范围.BAOYXy2=2pxQ(2p,0)（21）（本小题满分12分）设0p是一常数，过点(2,0)Qp的直线与抛物线22ypx交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.（22）（本小题满分14分）设数列na满足1112,,(1,2,3.......)nnnaaana（Ⅰ）证明21nan对一切正整数n成立；（Ⅱ）令,(1,2,3......)nnabnn,判断1nnbb与的大小，并说明理由。普通高等学校招生全国统一考试参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.（1）D（2）A（3）D（4）A（5）B（6）C（7）C（8）C（9）B（10）B（11）D（12）D二、填空题：每小题4分，共16分.（13）－2（14）4（15）3（16）[－1，3]三、解答题：共74分.（17）（本小题12分）解：xxxxy44coscossin32sin)62sin(22cos2sin32sin3)cos)(sincos(sin2222xxxxxxxx故该函数的最小正周期是；最小值是－2；单增区间是[31,0]，],65[（18）（本小题12分）解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=4321,,,),4,3,2,1(43AAAAk且独立.故,41)()0(1APP25681)43()()4(,2562741)43()()3(,64941)43()()2(1634143)()1(4432134321232121AAAAPPAAAAPPAAAPPAAPP从而有分布列：01234P41163649256272568125652525681425627364921631410E（II）256175256811)4(1)3(PP答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175.（19）（本小题12分）（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，因此MF是AB与PC的公垂线.（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH//DE，因此OH⊥面MAE.连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，aACAO2221.因Rt△ADE~Rt△PDA，故中从而在AHORtaEDOHaaaaPDADED.10221,10)3(2222.10520122102sinaaAOOHHAO（20）（本小题12分）解：（I）.)1(23)(2axaxxf0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122xfxxxfxxxxfxxxfxxxxxfxxxxaaaaxaxxf时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x是极大值点，2x是极小值点.（II）因故得不等式,0)()(21xfxf.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231xxaxxxxaxxxxxxxxaxxaxx即又由（I）知.3),1(322121axxaxx代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得.0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得xfxfaaaaa（21）（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：pxky2.又设),(),,(BBAAyxByxA，则其坐标满足.2,22pxypxky消去x得04222ppkyy由此得.4,22pyypkyyBABA22224)2()(,)24()(4ppyyxxpkyykpxxBABABABA因此OBOAyyxxOBOABABA即,0.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（HHyx,）是AB的中点，故.2,)2(22kpyyypkxxxBABBAH由前已证，OH应是圆H的半径，且pkkyxOHHH45||2422.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p又设),(),,(BBAAyxByxA，则其坐标满足.2,22pxypxky分别消去x，y得.04)2(2,04222222pxkpxppkyy故得A、B所在圆的方程.02)2(2222pkyxkpyx明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为),,)2(()2,2(2kppkyyxxBABA故22222)2(||pkpkOH而前面圆的方程可表示为22222222)2()(])2([pkpkpkypkx故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.又22422)45(||pkkOHR，故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上又直径|AB|=22)()(BABAyyxx.44222222222pxxpxxpxpxxxyyxxBABABABABABA上式当BAxx时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.（22）（本小题14分）（I）证法一：当,1122,11an时不等式成立..1)1(2,1.1)1(213221,1.12,122221时成立时时当成立时假设kaknkakaaaknkaknkkkkkk综上由数学归纳法可知，12nan对一切正整数成立.证法二：当n=1时，112321a.结论成立.假设n=k时结论成立，即.12kak当)1(1)(,1xxxxfkn由函数时的单增性和归纳假设有.012132)12112(.3212112:.12112121显然成立而这等价于因此只需证kkkkkkkkkaaakkk所以当n=k+1时，结论成立.因此，12nan对一切正整数n均成立.证法三：由递推公式得,1221212nnnaaa21212222222112