高考数学新题型练习1

1、已知函数y=()fx满足33fxfx，且方程()fx=0有n个实根x1,x2,…xn,则x1+x2+…+xn=3n。解：由33fxfx可得y=()fx的图像图像关于x=3对称。当n为偶数时，方程()fx=0有n个实根x1,x2,…xn两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x1+x2+…+xn=6×2n=3n当n为奇数时，方程()fx=0有n个实根中必有一根为3，其余n-1个根两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x1+x2+…+xn=3+3（n-1）=3n故x1+x2+…+xn=3n。2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．则共有30种不同的染色方法。解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有①、②④、③⑤②、①④、③⑤③、①④、②⑤④、①③、②⑤⑤、①③、②④故共有五组第二步：将三种颜色对应三组进行全排列A33=6由分步计数原理得共有5×6=30种。3、如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且2155APABAC，AQ=23AB+14AC则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(B)A.15B.45C.14D.13PMNCABQPCABQ图1图2解：如图2设25AMAB,15ANAC则APAMAN由平行四边形法则知NP∥AB，所以ABPANABCAC=15，同理可得14ABQABC。故45ABPABQ即选B.4、设x1，S=min｛logx2，log2（4x3）｝则S的最大值为3。解：由题设知Slogx2，Slog2（4x3），且S0则Slog2（4x3）=2+3log2x=2+2log3x2+S3，于是S2-2S-30得-1S3当x=32时取等号。5、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，C点在AB上且OC是∠AOB的角平分线,则OC=（-12，32）。解：由题设知OA=（0，1），OB=（-3，4）OC是∠AOB的角平分线可设OC=（OAOBOAOB）=OA+15OB又C点在AB上所以+15=1解得=56故OC=56OA+16OB=（-12，32）6、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（D）（A）1001（B）1010（C）1011（D）1013解：当正整数为两位数时，有210C个当正整数为三位数时，有310C个………当正整数为十位数时，有1010C个由分类计数原理得共有正整数210C+310C+…+1010C=210-110C-010C=1013故选D。7、已知sin(2)3sin,设tan,tanxy,记()yfx(1)求证：tan=2tan(2)求()fx的表达式;(3)定义正数数列｛an｝;a1=2，211na=21na1nfa（nN）。试求数列{}na的通项公式。解：（1）由sin(2)3sin，得sin=3sin，即sincos=2cossin故tan=2tan（2）由tan=2tan得tantan2tan1tantan即21xyxxy。解得y=212xx故xf=212xx（3）因为211na=21na1nfa=21na21112nnaa，所以21na=122na+1即21na-2=12（2na-2）因此{2na-2}是首项为2，公比为12的等比数列。所以2na-2=2112n故an=2122n。8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足其中,OBOAOC、12,且R（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与椭圆)0(12222babyax交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：;1122为定值ba（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于23，求椭圆实轴长的取值范围.解：（1）设)2,0()0,1(),(,),,(yxOBOAOCyxC则因为1122yxyx即点C的轨迹方程为x+y=1。（2）112222byaxyx由得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0设M（x1,y1）,N（x2,y2），则“x1+x2=2222baa，x1x2=22222babaa因为以MN为直径的圆过原点为，所以ONOM=0，即x1x2+y1y2=0∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2=1-2222baa+222222babaa=0即a2+b2-2a2b2=0∴;21122为定值ba（3）12,211,4323222222222aabbaabaee1020,2100,412,43121122aaaa从而即∴椭圆实轴长的取值范围是（0,10]。