小学四年级-运算定律：-乘法运算定律-讲义

1运算定律第2节乘法运算定律【知识梳理】1.运算定律的发现及验证在实际的计算中，当我们对一个算式进行变形的时候，如交换算式中某两个数字的位置或者给算式添上或去掉括号，这时不影响算式的结果我们就可以提炼出一个通用的运算规律，从而使计算更加简便。我们称这样的规律为运算定律。2.用字母表示运算定律在数学中通常用字母表示运算定律，通常用小写字母a，b，c等代表代表算式中的数字，用字母表示运算定律能够达到更直观的效果。3.乘法交换律两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示乘法交换律：如果用a、b分别代表一个因数，那么乘法交换律就可以表示为：a×b=b×a。4.乘法结合律三个数相乘，如果后两个数相乘能使计算简便一些，就先把后两个数相乘，再与第一个数相乘积不变。用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）5.乘法分配律两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘再相加。用字母表示为：（a+b）×c=a×c+b×c当我们遇到求两个积的和，而这两个积中正好有相同的因数时，我们就可以运用乘法分配律，用相同的因数乘其他两个数的和。2【诊断自测】一、乘法交换律和乘法结合律1.填空（1）4×25=25×4，也就是说交换两个因数的位置后，积（），这叫（），可以用字母表示为（）（2）（25×5）×2=（）、25×（5×2）=（），所以（25×5）×2=25×（5×2），像这样三个数连乘时先把前两个数相乘，或者先乘后两个数积不变这叫乘法()，用字母表示为（）。（3）交换两个因数的位置（）不变，这叫乘法（），用字母表示为（）。（4）三个数相乘时，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法（），用字母表示为（）。2.根据乘法运算定律在，里填入适当的数。（1）15×16=16×（2）25×7×4=××7（3）（60×25）×=60×（×8）（4）125×（8×）=（125×）×14（5）3×4×8×5=（3×4）×（×）3.应用题学校有教学楼4层，每层有7间教室，每间教室要配25套双人桌椅，学校一共需要购进多少套双人桌椅？二、乘法分配率1.用竖式计算105×2428×35108×1532.观察算式并填空（4+2）×254×25+2×25=6×25=100+50=150=50计算后发现：（4+2）×25和4×25+2×25的结果是（），也就是说两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再把结果相（），这叫乘法分配律，用字母可以表示为（）。3.判断正误，正确画“√”，错误画“×”56×（19+28）=56×19+28（）32×（7×3）=32×7+32×3（）64×64+36×64=（64+36）×64（）4.用乘法分配律计算16×27＋73×1647×15＋33×15【考点突破】类型一:加法交换律例1.同学们参加植树活动，参加植树的一共25个小组，每个小组中4人负责挖坑种树，负责挖坑种树的一共多少人？答案:25×4=100(人)或4×25=100（人）解析：根据已知条件有25个小组，每个小组里有4人挖坑种树，求负责挖坑种树的一共多少人，也就是求25个4是多少，用乘法计算，列式可发现25×4=4×25，交换因数的位置乘积不变，这是乘法交换律。4例2.计算4×123×25答案：4×123×25=4×25×123=100×123=12300解析：如果我们按照四则混合运算的运算顺序去计算这道题，是比较麻烦的，不妨认真观察一下这道题中的数字的特点，会发现4和25相乘是100，这样就会使我们的计算变得简便许多，所以我们可以利用乘法交换律交换123和25的位置，先计算4×25再乘123.类型二：乘法结合律例3.同学们参加植树活动，参加植树的一共有25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？答案：解法一：25×5×2=125×2=250（桶）答：一共要浇250桶水。解法二：25×（5×2）=25×10=250（桶）答：一共要浇250桶水。解析：如果是先求一共植多少棵树在求一共浇多少桶水，则选用方法一，25×5=125（棵），125×2=250（桶）；如果是先求每组要浇多少桶水，再求一共要浇多少桶水，则选用方法二，5×2=10（桶），25×10=250（桶）。相比之下，方法二比方法一计算要简便一些。例4.计算4×6×25×7=4×25×6×7=（4×25）×（6×7）5=100×42=4200类型三：乘法分配律例5.同学们参加植树活动，一共25个小组，每组里4个人负责挖坑种树，2个人负责抬水浇树，一共有多少名同学参加了这次植树活动？答案：解法一：（4+2）×25=6×25=150（人）答：一共150人参加了此次植树活动。解法二：4×25+2×25=100+50=150（人）答：一共有150人参加了此次植树活动。解析：如果先求出每组多少人再求出植树活动的总人数，可选用第一种方法，4+2=6（人），6×25=150（人）。如果先求出挖坑种树的有多少人，再求出抬水浇树的有多少人，最后求出总人数，则选用第二种方法，4×25=100（人），2×25=50（人），100+50=150（人）。相比之下，第二种方法的计算比较简便。例6.计算36×68+68×6425×（4+40）答案：36×68+68×6425×（4+40）=（36+64）×68=25×4+25×40=100×68=100=1000=6800=1100解析：在计算之前首先要观察题目的特点，然后运用运算律达到简便运算的目的。第一题中，68是相同的因数，36和64相加能凑整百，所用乘法分配律将原式写为“（36+64）×68”在第二题中，40×25和4×25都能凑出整百整千，所以利用乘法分配律将原式改写为“25×4+25×40”6类型四：运算律的综合运用及知识延伸例7.计算86×18+12×21答案：86×18+12×21=86×18+6×2×3×7=86×18+（6×3）×（2×7）=86×18+18×14=18×（86+14）=18×100=1800解析：把12分解成2×6，把21分解成3×7，利用结合律得到14×18，这样就出现了相同因数，再利用分配律求解。例8.计算56×5436×76答案：56×54=（5+1）×5×100+6×4=302436×76=（7×3+6）×100+6×6=2736解析：观察算式“56×54”不难发现，在这个两位数乘以两位数的算式中，56和54的十位上的数字都是5，个位上的数字虽然不同,但是相加得10，我们把这种情况叫做“头同尾合十”，通常情况下，这样的算式的计算技巧是，用十位数字乘以它加一的和，如5×（5+1）=30，让“30”站千位和百位；用个位上的数字相乘，如“6×4=24”，让“24”占十位和个位，这样得数就是“3024”。观察算式“36×76”不难发现，在这个算式中，36和76两个数个位数字相同，十位数字相加得十，这就是“尾同头合十”的情况，这种情况下，用十位数字相乘再加上各位数字，7得数占千位和百位，如“7×3+6=27”，“27”占得数的千位和百位；用个位数的平方占得数的个位和十位，如“6×6=36”，“36”占得数的个位和十位，所以得数为“2736”。例9.老师让同学们做游戏，四个同学每人一个数字卡，四个数字的乘积是100000，你知道赵冬拿的数字卡片是多少吗？李华张兵赵冬杨兰答案：25×4=100答：赵冬拿的数字卡片上的数字是4.解析：在已知的三个数中，125×8=1000，则剩下的25应该和一个数相乘得100，这样才能够得到1000×100=100000。例10.在里填上适当的数167×2+167×3+167×5=167×28×225-2×225-6×225=×22539×8+6×39-39×4=×答案：167×2+167×3+167×5=167×1028×225-2×225-6×225=20×22539×8+6×39-39×4=39×10解析：乘法分配律不仅可以表示两个数之和与一个数相乘，还可以表示多个数的和或差与一个数相乘，其字母表示可以拓展为：a×b±a×c±a×d=a×（b±c±d），题中左边的式子可以转化为167×（2+3+5）、（28-2-6）×225、39×（8+6-4）。【易错精选】1．填空125×18×8＝（）×（）×（）825125840×15×25×6＝（）×（）×（）×（）58×14＋42×14＝（（）＋（））×14133×99＋133＝（（）＋（））×（）28×52－28×2＝（（）－（））×（）45×20－45×4＝45×（（）－（））73×201－73＝（（）－（））×（）2.用简便方法计算(180＋80)×2525×3236×99265×99＋265125×25×32101×8772×1253.应用题（1）修一段公路，甲队每天修240米，乙队每天修的比甲队少60米，两队合修25天，共修多少米？（2）一捆电线长800米，第一次用去120米，第二次用去的是第一次的3倍，还剩下多少米?（3）师徒二人共同加工一批机器零件，师傅每小时加工52个，徒弟每小时加工50个，两人同时开始工作，8小时后共加工多少个零件？（两种方法解答）【精华提炼】知识点一：乘法交换律（1）计算时要观察算式中有没有相乘等于整十整百的数，运用交换律，先计算这些相乘能9等于整十整百的数，会使计算变得更简便（2）“头同尾合十”与“尾同头合十”例如：56×54，为头同尾合十的情况，计算时可以写为：56×54=（5+1）×100+（6×4）=302465×45，为尾同头合十的情况，计算时可写为：65×45=（6×4+5）×100+5×5=2925知识点二：乘法结合律（1）乘法结合律的字母表示为：（a×b）×c=a×（b×c）（2）乘法交换律和乘法结合律不限于两个或三个因数相乘，只要是连乘的形式，三个以上的因数也可以用乘法交换律和乘法结合律。知识点三：常用的特殊值（1）像125×8=1000和25×4=100,50×2=100，25×8=200这样的运算在简便运算中经常用到，需要熟记。知识点四：乘法分配律（1）巧解简便运算的关键在于活用运算律，需要注意的是乘法分配律中只强调了两数之和乘以一个数的情况，其实两数之差乘以一个数的时候也会发生类似的情况，如（40-4）×25=40×25-4×25=1000-100=900，用字母表示为：（a-b）×c=a×c-b×c（2）因为乘法具有交换律，所以两数之和乘以一个数和一个数乘以两数之和的结果是一样的，所以有：（a+b）×c=c×（a+b）=a×c+b×c，两数之差的情况也类似。【本节训练】1．判断正误正确画“√”，错误画“×”1）35×16＝35×2×8（）2）102×49＝100×49＋2（）103）17×91＋9＝17×100（）4）102×23＝（100＋2）×23＝100×23＋2×23（）5）25×34＋25×66＝（34＋66）×（25＋25）（）2.用简便方法计算16×125×8×625×10465×99＋6535×36＋36×6598×56(250＋25)×403.应用题（1）学校订了两箱学具，每箱有25包，每包里有4套，共计1200元；你能算出每套学具多少元吗？（2）学校的花圃长30米，宽25米，如果在花圃的四周围上篱笆，需要多少米的篱笆？如果每平方米大约种20棵郁金香，这个花圃可以种多少棵郁金香？4.请根据下表计算出2006年全年有多少天？2015年各月天数统计表月份一二三四五六七八九十十一十二天数312831303130313130313031【基础巩固】1.填空（1）乘法交换律：交换（）的位置，（）不变，用字母表示为（）。（2）乘法结合律：三个数相乘，先乘（）或者先乘（），（）不变。用字母表11示为（）。（3）乘法分配律：两个数的（）与一个数（），可以先把他们与这个数分别（）再（），用字母表示为（）。2.根据题意列综合算式1）在运动会开幕式上进行大型团体操表演，一共有8个方阵，每个方阵有15行，每行有25个人，一共有多少人参加表演？①先算一共有多少行，再算一