河南省三门峡市陕州中学2016届高三数学下学期尖子生专题训练试题(三)

1OMCBA2015-2016学年下期高三尖子生专题训练数学试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12izi（i为虚数单位），则z的共轭复数是A.2iB.2iC.2iD.2i2.已知命题p：“0ab”是“11ab”成立的必要不充分条件；命题q：若函数(1)yfx为偶函数，则函数()yfx的图象关于直线1x对称，则下列命题为真命题的是（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq3.已知数列{}na满足331log1lognnaa*()nN，且2469aaa，则15793log()aaa＝（A）15（B）5（C）－5（D）154.函数2)(1xaxf)1,0(aa的图象恒过定点A，若点A在直线01nymx上，其中0,0nm，则nm21的最小值为A．4B．5C．6D．2235.设等差数列{}na的前n项和为nS，10a且65911aa，当nS取最大值时，n的值为A.9B.10C.11D.126．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A．56B．36C．54D．647.已知ABC外接圆的圆心为O，32AB，22AC，A为钝角，M是BC边的中点，则AOAMA．3B．4C．5D．68.在ABC△中，abc，，分别是角ABC，，所对的边长，23a，tantan422ABC，2sinsincos2ABC.则b（A）3（B）2（C）22（D）239.已知12FF，分别是双曲线22221xyab（00ab，）的两个焦点，A和B是以O（O是平面直角坐标系的原点）为圆心，以1||OF为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点，且2FAB△是等边三角形，则双曲线的离心率为2（A）3（B）5（C）52（D）1310.设2()e(1)xfxaxx，且曲线()yfx在1x处的切线与x轴平行，且对[0]2，，|(cos)(sin)|ffb≤恒成立，则b的最小值为（A）1e（B）e（C）1（D）211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的表面积为（单位：cm2）（A）272959（B）272185（C）929527（D）369518212.已知函数()fx满足()(2)2fxfx，当(0,1]x时，2()fxx，当(1,0]x时，2()2(1)fxfx，若定义在(1,3)上的函数()()(1)gxfxtx有三个不同的零点，则实数t的取值范围是A.1(0,]2B.1[,)2C.(0,627)D.(0,627)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13.已知627012712(1)(1)...(1)xxaaxaxax，则3a_______.14.设不等式组1230xxyyx≥≥≥－所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线3490xy对称．对于1中的任意点A与2中的任意点B，||AB的最小值为____________15．在正三棱锥S—ABC中，AB＝2，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S－ABC外接球的球心到平面ABC的距离为____________．16．已知数列{na}的前n项和为nS，S1＝1，S2＝－32，且nS－2nS－＝3×1()2n－1－（n≥3），则na＝___________三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sincos23cos3fxxxx.(1)求函数()fx的最小正周期和单调减区间；(2)已知ABC的三个内角,,ABC的对边分别为,,abc，其中7a，若锐角A满足()326Af，3且133sinsin14BC，求ABC的面积.18．（本小题满分12分）随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[0，0.5）40.10[0.5，1）mp[1，1.5）10n[1.5，2）60.15[2，2.5）40.10[2.5，3）20.05合计M1（Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值；（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．20.（本小题满分12分）椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F，2F,且离心率为12,点P为椭圆上一动点，12FPF内切圆面积的最大值为3.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左顶点为1A,过右焦点2F的直线l与椭圆相交于A,B两点，连结1AA,1AB并延长交直线4x分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数32(63),xfxxxxtetR（1）若函数yfx依次在,,()xaxbxcabc处取得极值，求t的取值范围；（2）若存在实数0,2t，对任意的1,xm，不等式fxx恒成立，求正整数m的最大值。4请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AC是圆O的切线，A是切点，ADOE于D，割线EC交圆O于B、C两点。（1）证明：,,,ODBC四点共圆；（2）设50,30DBCODC，求OEC的大小。23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：23xtt＝＋cosy＝＋sin（t为参数）与曲线C：2x＝cosy＝sin（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若α＝3，求线段AB中点M的坐标：（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜2，其中P（2，3），求直线l的斜率．24.（本小题满分10分）【选修4-5，不等式选讲】设=1.fxax，（Ⅰ）若2fx的解集为-6,2，求实数a的值；（Ⅱ）当=2a时，若存在xR，使得不等式21173fxfxm成立，求实数m的取值范围.5高三数学参考答案一．DDCDBCCBDAAD10.解析：2()(121)exfxaxxax因为曲线()yfx在1x处的切线与x轴平行，∴(1)0f，即11210aa，解得1a时，有()(2)(1)exfxxx∴当(2)，和(1)，上，()0fx，在(21)，上，()0fx，所以()fx在(2)，和(1)，上单调递减，在(21)，单调递增.所以，()fx在[01]，上是增函数.所以当[01]x，时，max(1)eff，min(0)1ff对于任意的12[01]xx，，，有12|()()|e1fxfx≤恒成立，因为[0]2,，所以cossin[01]，，，且0时cos1sin0，，所以当e1a≥11.解析：如图所示，三棱锥ABCD即为所求=S表1(63566236362)272959212.【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.【试题解析】D由题可知函数在(1,1]x上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xxfxxxx，又由()(2)2fxfx可知()fx的图像关于(1,1)点对称，可将函数()fx在(1,3)x上的大致图像呈现如图：根据(1)ytx的几何意义，x轴位置和图中直线位置为(1)ytx表示直线的临界位置，其中[1,2)x时，2()(2)2fxx，联立2(1)(2)2ytxyx，并令0，可求得627t.因此直线的斜率t的取值范围是(0,627).故选D.二．13.-2514.415.三．17．解：(1)2()2sincos23cos3sin23cos2fxxxxxx2sin(2)3x(3分)因此()fx的最小正周期为22T.()fx的单调递减区间为3222232kxk≤≤，即7[,]1212xkk()kZ.(6分)DCABOx-1123126(2)由()2sin(2())2sin326263AAfA，又A为锐角，则3A.由正弦定理可得7142sin332aRA，133sinsin214bcBCR，则1331413143bc，由余弦定理可知，22222()21cos222bcabcbcaAbcbc，可求得40bc，故1sin1032ABCSbcA.(12分)18．（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）1.225；（Ⅲ）242625CPC19．（1）可证BC⊥面PAC（2）在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．20.解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设ct，2at，即3bt，其中0t，又△12FPF内切圆面积取最大值3时，半径取最大值为33r，由12122FPFFPFrSC，由12FPFC为定值，因此12FPFS也取得最大值，即点P为短轴端点，因此12(22)22rcbac，11323(42)223tttt，解得1t，则椭圆的方程为22143xy.(4分)(2)设直线AB的方程为1xty，11(,)Axy，22(,)Bxy联立221143xtyxy可得22(34)690tyty，则122634tyyt，122934yyt直线1AA的方程为11((2))(2)yyxx，直线1BA的方程为22((2))(2)yyxx，则116(4,)2yPx，226(4,)2yQx，假设PQ为直径的圆是否恒过定点(,)Mmn，则116(4,)2yMPmnx，226(4,)2yMQmnx，2121266(4)()()022yyMPMQmnnxx即2121266(4)()()033yyMPMQmnntyty即22121221212(3612)18()(4)03()9ntyynyynmtyytyy72222(3612)(9)18(6)(4)093(6)9(34)ntntnmtttt，即2269(4)0ntnm若PQ为直径的圆是否恒过定点(,)Mmn，即不论t为何值时，0MPMQ恒成立，因此，0n，1m或7m.即恒过定点(1,0)和(7,0).(12分)23.解析：（1）将曲线C的参数方程