2004年4月统考试题(文科)

试卷类型：A襄樊市高三年级统考试题数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．请考生将自己的学校、班级、姓名、学号填写在第Ⅱ卷密封线内．2．每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x｜x2－x－2＞0}，集合B＝{x｜|x－a|＜3}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是A．[1，2]B．(－1，2)C．[－1，2]D．(－2，1)2.已知向量a＝(8，x21)，b＝(x，1)，其中x＞0．若a∥b，则x的值为A．8B．4C．2D．03.给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中真命题是A．p且qB．p或qC．¬p且qD．¬p或q如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnppCkP)1()(正棱台、圆台侧面积公式：lccS)(21台侧其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体体积公式：hSSSSV)(31台体表示高，分别表示上、下底面积、其中hSS4.不等式｜x｜(1－2x)＞0的解集是A．(－∞，21)B．(－∞，0)∪(0，21)C．(21，＋∞)D．(0，21)5.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出的是黑球，则放回箱中，重新取球；若取出的是白球，则停止取球．那么在第4次取球时停止的概率为A．491435CCCB．13)94()95(C．4153D．1314)94()95(C6.一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别是A．8a，81bB．64a，641bC．128a，1281bD．256a，2561b7.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的最大值是A．4B．2C．41D．218.将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8个组，如下表：则第四组的频率为A．0.14B．0.03C．0.13D．0.079.设函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，满足f(9)＝2，则f－1(log92)的值是A．2log3B．22C．2D．210.有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为A．2aB．22aC．32aD．42a11.设l、m、n表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若mα，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题是A．①②B．②③C．①③D．③④12.由关于x的恒等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义f(a1，a2，a3，a4)＝(b1，b2，b3，b4)，则f(4，3，2，1)＝A．(1，2，3，4)B．(－1，0，2，－2)C．(0，3，4，0)D．(0，－3，4，－1)组号12345678频数111412x13151210襄樊市高三年级统考试题(2004.4)数学(文史类)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：第Ⅱ卷共6页，用黑色签字笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚．题号一二三总分171819202122得分二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。将正确答案填在题中横线上．13.中心在原点，准线方程为8y，离心率21e的椭圆的长轴长为．14.在等比数列{an}，a1＋a2＝162，a3＋a4＝18，则a4＋a5＝．15.从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax2＋by2＋c＝0中的系数，则确定不同的椭圆个数为．16.在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：1=）（）（91．得分评卷人三．解答题：本大题共6小题，满分74分．17.(本大题满分12分)已知电流I与时间t的关系式为)sin(tAI．(1)右图是)2||0()sin(，tAI在一个周期内的图象，根据图中数据求)sin(tAI的解析式；(2)如果t在任意一段1501秒的时间内，电流)sin(tAI都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？18.(本大题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋(m－4)x2－3mx＋(n－6)(x∈R)的图像关于原点对称，其中m，n为实常数．(1)求m，n的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．得分评卷人得分评卷人3009001Ot1801I19.(本大题满分12分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求：(1)CM与D1N所成角的大小；(2)异面直线CM与D1N的距离．得分评卷人ABCDA1B1C1D1MN20.(本大题满分12分)有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2＞V1．得分评卷人21.(本大题满分12分)如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且0BCAC，|BC|＝2|AC|．(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；(2)过点D(0，2)的直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设MNDM，求实数的取值范围．得分评卷人ABCO22.(本大题满分14分)已知数列{an}的首项为a1＝2，前n项和为Sn，且对任意的n∈N+，n≥2，an总是3Sn－4与2－25Sn－1的等差中项．(1)求证：数列{an}是等比数列，并求通项an．(2)证明：12222log)log(log21nnnSSS．(3)设f(n)＝an，g(n)＝Sn，解不等式：f2(n)＞10－g(n)．数学参考答案及评分标准(文史类)一．选择题：BBDBBCCCCBAD二．填空题：13．814．±615．1816．4、12三．解答题：17．(1)解：由图可知A＝300，周期751)90011801(2T∴1502T4分又当9001t时，I＝0，即0])9001(150sin[而2||，∴6故所求的解析式为)6150sin(300tI8分(2)解：依题意，周期T≤1501，即2≤1501(ω＞0)∴ω≥300π＞942，又ω∈N＋，故最小正整数ω＝943．12分18．(1)解：由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)即－x3＋(m－4)x2＋3mx＋(n－6)＝－x3－(m－4)x2＋3mx－(n－6)，也就是(m－4)x2＋(n－6)＝0恒成立，∴m＝4，n＝66分(2)解：f(x)＝x3－12x，∴f/(x)＝3x2－128分f/(x)＝3x2－12＝0得：x＝±2x－22f/(x)＋－＋∴f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是增函数，在[－2，2]上是减函数．12分19．解：(1)以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立直角坐标系1分得分评卷人则C(0，2，0)、D1(0，0，2)、M(2，0，1)、N(2，2，1)，∴CM＝(2，－2，1)，ND1＝(2，2，－1)，3分设CM与D1N所成的角为α，则9133)1(12)2(22||||cos11NDCMNDCM∴CM与D1N所成的角为91arccos．6分(2)设NDCM1，的法向量为n＝(x，y，z)则yzxzyxzyx20022022，取n＝(0，1，2)8分∴异面直线CM与D1N的距离552|||1|nnMDd12分方法二：(1)解：取DD1的中点E，分别连接EM、EB，则EM∥BC，EB∥D1N，∴B、C、E、M共面，故CM与EB相交于点F因此，∠EFM(或其补角)就等于CM与D1N所成角．2分232212121222EBEF4分91232322)23()23(cos222EFM∴CM与D1N所成的角为91arccos．6分(2)解：由(1)知，D1N∥平面BCEM，∴D1到平面BCEM的距离d等于异面直线CM与D1N的距离，8分∵3411111DNABCDEBAMCDDBAABCEMDVVVV10分即3431dSBCEM而SBCEM＝BM·BC＝25，∴552d．12分20．(1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x，高为x，∴Vl＝(4—2x)2x＝4(x3一4x2＋4x)(0＜x＜2)2分/1V＝4(3x2一8x＋4)＝)2)(32(12xx4分当320x时，/1V＞0，当232x时，/1V＜06分∴当32x时，Vl取最大值27128．8分(2)解：重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2＝3×2×1＝6，显然V2＞Vl故第二种方案符合要求．12分图①图②21．(1)解：以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为14222byx2分∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|又∵0BCAC，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1，1)∴点B的坐标为(－1，－1)4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得342b，则求得椭圆方程为143422yx6分(2)解：∵M在D、N之间，∴λ＞设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则：1212121yyxx，∵M、N在椭圆上，∴434322222121yxyx，∴4841212)3(4)12(3)1(22222222222yyxyx即32222322yy10分∴3323322y，∴332322332解得：213∴实数的取值范围是[213，＋∞)．12分22．(1)证：n≥2时，2an＝3Sn－4＋2－125nS即2(Sn－Sn－1)＝3Sn－4＋2－125nS∴Sn＝2211nS，132221222aa3分故21)221()221(11111nnnnnnnnnnSSSSSSSSaa(n≥2)又2112aa∴数列{an}是公比为21等比数列2121)21(2nnna．6分(2)证：Sn＝4－2)21(n，要证12222log)log(log21nnnSSS，只要证212nnnSSS．22222)21()21(516])21(4][)21(4[