南通市2010届高三数学一调有答案

南通市2010届高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合U={1,2,3,4}，M={1,2}，N={2,3}，则Uð(M∪N)=▲．2．复数21i(1i)（i是虚数单位）的虚部为▲．3．设向量a，b满足：3||1,2aab，22ab，则||b▲．4．在平面直角坐标系xOy中，直线(1)2xmym与直线28mxy互相垂直的充要条件是m=．5．函数()cos(sincos)()fxxxxxR的最小正周期是▲．6．在数列{an}中，若对于n∈N*，总有1nkka＝2n－1，则21nkka=▲．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是▲．8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是▲．9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是▲．10．关于直线,mn和平面,，有以下四个命题：①若//,//,//mn，则//mn；②若//,,mnmn，则；③若,//mmn，则//n且//n；④若,mnm，则n或n.其中假命题的序号是▲．11．已知函数2220()20xxxfxxxx，，，，若2(2)()fafa，则实数a的取值范围是▲．（第8题图）字数/分钟频率组距0.00500.00750.01000.01250.0150507090110130150k≥-3？/开始k1S0SS–2kkk-1结束输出SYN（第9题图）12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是2,0,2,0，则PC·PD的最大值为▲．13．设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若31241234aaaak,则412()iiSihk.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，则相应的正确命题是：若31241234SSSSk,则▲．14．在平面直角坐标系xOy中，设直线32myx和圆222xyn相切，其中m，*0||1nmnN，，若函数1()xfxmn的零点0(,1),xkkkZ，则k=▲．【填空题答案】1．{4}；2．12;3．2；4．23；5．π；6．1413n；7．12；8．90；9．10；10．①③④；11．(21)，；12．4；13．413()iiViHk；14．0．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量cos()1AC，m和(1cos)B，n满足32mn.（1）求sinsinAC的值；（2）求证：三角形ABC为等边三角形．【解】（1）由32mn得，3cos()cos2ACB，……………………2分又B=π(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=32，……………………4分即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=32，所以sinAsinC=34．……………6分【证明】（2）由b2=ac及正弦定理得2sinsinsinBAC，故23sin4B.……………8分于是231cos144B，所以1cos2B或12.因为cosB=32cos(AC)0，所以1cos2B，故π3B．…………………11分由余弦定理得2222cosbacacB，即222bacac，又b2=ac，所以22acacac，得a=c.ABCDEF(第16题图)因为π3B，所以三角形ABC为等边三角形.…………………14分16．（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【证明】（1）因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为CD的中点，所以GF∥ED∥BA，GF＝12ED＝BA，从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.……………………4分因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．……………………7分（2）因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.……………………9分又AC=AD，所以AF⊥CD.…………………11分而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．…………………14分17．（本小题满分15分）设等差数列{}na的前n项和为nS，且5133349aaS，．（1）求数列{}na的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{}nb的通项公式为nnnabat，问:是否存在正整数t，使得12mbbb，，(3)mmN，成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}na的公差为d.由已知得51323439aaa，，……………………2分即118173adad，，解得112.ad，……………………4分.故221nnanSn，.………6分（2）由（1）知2121nnbnt.要使12mbbb，，成等差数列，必须212mbbb，即312123121mttmt，……8分.整理得431mt，……………11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当2t时，7m；当3t时，5m；当5t时，4m.故存在正整数t，使得12mbbb，，成等差数列.…………………15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.（1）设PBO，把y表示成的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在RtAOB中，6AB，所以OB=OA=32.所以π4ABC由题意知π04.……………………2分所以点P到A、B、C的距离之和为322sin22(3232tan)3232coscosyPBPA.……………………6分故所求函数关系式为2sinπ32320cos4y.……………………7分（2）由（1）得22sin132cosy，令0y即1sin2，又π04，从而π6.……………………9分.当π06时，0y；当ππ64时,0y.所以当π6时，2sin432cosy取得最小值，…………………13分此时π32tan66OP（km），即点P在OA上距O点6km处.【答】变电站建于距O点6km处时，它到三个小区的距离之和最小.…………15分19．（本小题满分16分）已知椭圆22220yxCabab：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且(13)B，.（1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线2222440xmxyym与D有公共点，试求实数m的最小值．【解】（1）由离心率63e，得2263aba，即223ab.①………………2分又点(13)B，在椭圆2222:1yxCab+上，即2222(3)(1)1ab+.②………………4分解①②得22124ab，，故所求椭圆方程为221124yx.…………………6分OBCAP（第18题图）由(20)(13)AB，，，得直线l的方程为2yx.………8分（2）曲线2222440xmxyym，即圆22()(2)8xmy，其圆心坐标为(2)Gm，，半径22r，表示圆心在直线2y上，半径为22的动圆.…………………10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑0m的情形.设G与直线l相切于点T，则由|22|222a，得4m，…………………12分当4m时，过点(42)G，与直线l垂直的直线l的方程为60xy，解方程组6020xyxy，得(24)T，.…………………14分因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12，，所以切点TD，由图可知当G过点B时，m取得最小值，即22(1)(32)8m，解得min71m.…………………16分（说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分）20．（本小题满分16分）已知二次函数g（x）对任意实数x都满足21121gxgxxx，且11g．令19()ln(,0)28fxgxmxmxR．（1）求g(x)的表达式；（2）若0x使()0fx成立，求实数m的取值范围；（3）设1em，()()(1)Hxfxmx，证明:对12[1]xxm，，，恒有12|()()|1.HxHx【解】（1）设2gxaxbxc，于是2211212212gxgxaxcx，所以121.ac，又11g，则12b．所以211122gxxx.……………………4分（2）2191()lnln(0).282fxgxmxxmxmxR，当m0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；当m=0时，2()02xfx对0x，()0fx恒成立；……………………6分当m0时，由()0mfxxxmx，列表：min()()ln.2mfxfmmm这时，minln0()0e0.20mmmfxmm，……………………8分所以若0x，()0fx恒成立，则实数m的取值范围是(e0]，.故0x使()0fx成立，实数m的取值范围(,e]0，．………………10分（3）因为对[1]xm，，(1)()()0xxmHxx，所以()Hx在[1,]m内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln.22HxHxHHmmmm2121113|()()|1ln1ln0.2222HxHxmmmmmm…………………12分记13()ln(1e)22hmmmmm，则221133111()022332h'mmmm，所以函数13()ln22hmmmm在1e]，是单调增函数，…………………14分所以e3e1e3()(e)1022e2ehmh，故命题成立.…………………16分附加题部分21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答