工具变量(IV)：估计与检验

工具变量回归由来估计矩估计（不好）2SLS（最常用）GMM（异方差自相关）；LIML（若IV）工具变量有效性检验相关性F检验;PartialR2，单内生解释变量Minimumeigenvaluestatistic，最小特征值统计量，用于多内生解释变量外生性过度识别约束检验J统计量（又称Sargan统计量）解释变量内生性检验Hausman检验寻找工具变量的方法：几个实例方法例子由来经典假设所有的解释变量Xi与随机误差项彼此之间不相关。若解释变量Xi和ui相关，则OLS估计量是非一致的，也就是即使当样本容量很大时，OLS估计量也不会接近回归系数的真值。(,)0iiCovuX造成误差项与回归变量相关（内生性）的原因很多，但我们主要考虑如下几个方面：•遗漏变量变量•变量有测量误差•双向因果关系。遗漏变量偏差可采用在多元回归中加入遗漏变量的方法加以解决，但前提是只有当你有遗漏变量数据时上述方法才可行。双向因果关系偏差是指如果有时因果关系是从X到Y又从Y到X时，此时仅用多元回归无法消除这一偏差。同样，变量有测量误差也无法用我们前面学过的方法解决。因此我们就必须寻找一种新的方法。工具变量(instrumentalvariable,IV)回归是当回归变量X与误差项u相关时获得总体回归方程未知系数一致估计量的一般方法。我们经常称其为IV估计。其基本思想是：假设方程是：我们假设ui与Xi相关，则OLS估计量一定是有偏的和非一致的。工具变量估计是利用另一个“工具”变量Z将Xi分离成与ui相关和不相关的两部分。在经济学中：（1）内生变量：由模型内的变量所决定的变量称作内生变量。（2）外生变量：由模型外的变量所决定的变量称作外生变量。重要概念：内生变量和外生变量在计量经济学中，把所有与扰动项相关的解释变量都称为“内生变量”。这与一般经济学理论中的定义有所不同。1。与误差项相关的变量称为内生变量(endogenousvariable)。2。与误差项不相关的变量称为外生变量(exogenousvariable)。我们的工作就是要寻找相应的工具变量将解释变量分解成内生变量和外生变量，然后利用两阶段最小二乘法(TSLS)进行估计。一个例子：考虑货币政策对宏观经济的影响。由于货币政策的制定者会根据宏观经济的运行情况来调整货币政策，故货币政策是个内生变量（双向因果关系）。Romer(2004)通过阅读历史文献将货币政策的变动分解为“内生”（对经济的反应）与“外生”（货币当局的自主调整）的两部分。谁开创了工具变量回归？1928年的著作的“TheTariffonAnimalandVegetableOils”的附录B。作者是谁？PhilipWright还是他的儿子SewallWright文体计量学的分析为什么IV回归是有效的？例1:PhilipWright的问题PhilipWright关心的是那个时期的一个重要经济问题：即如何对诸如黄油，大豆油这样的动植物油和食用动物设置进口关税。在20世纪20年代，进口关税是美国主要的税收收入来源。而理解关税的经济效应的关键在于要有商品需求和供给曲线的定量估计。由前知供给弹性为价格上涨1%引起的供给量变化的百分率，而需求弹性为价格上涨1%引起的需求量的百分率变化。例如具休考虑黄油的需求弹性估计问题：根据11个均衡样本点估计的方程究竟是需求函数还是供给函数？两者都不是。由于这些点是由需求和供给两者的变化确定的，因此用OLS拟合这些点的直线既不是需求曲线也不是供给曲线的估计。利用这些样本点估计出来的OLS拟合线是需求曲线还是供给曲线，都不是！两个极端的情况如图：因此，由于这些点是由需求和供给两者的变化确定的，因此用OLS拟合这些点的直线既不是需求曲线也不是供给曲线的估计。Wright的解决办法：1。找到第三个变量，这个变量影响供给但不影响需求。这样，所有的均衡价格和均衡量对都落在这条稳定的需求曲线上，此时很容易估计出它的斜率。2。可见，这第三个变量，也就是工具变量，它与价格相关(它使供给曲线移动，于是导致价格发生变化)，但与u无关(需求曲线保持不变)。3。Wright考虑了几个可能的工具变量；其中一个是天气。例如，某牧场的降雨量低于平均值会使牧草减少从而减少给定价格时黄油的产量(会使供给曲线向左移动而使均衡价格上升)，因此牧场地区降雨量满足工具变量相关性的条件。但牧场地区降雨量对黄油的需求没有直接影响，因此牧场地区降雨量与ui的相关系数为零；也就是牧场地区降雨量满足工具变量外生性条件。上图表明若某个变量使供给曲线移动而使需求保待不变时会发生什么样的情况。现在所有的均衡价格和均衡量对都落在这条稳定的需求曲线工具变量法的本质是联立方程，只不过，我们只关心原方程的可识别性估计：矩估计、TSLS、GMM、LIMLInstrumentalVariableIV一、工具变量法（，）ttttttwCovwp0pCovw0可以引入工具变量来解决内生变量问题。一个有效的工具变量应满足以下两个条件：（1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即，，为内生解释变量（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即，＝二、工具变量法作为一种矩估计MethodofMomentsMM1、矩估计（，）222222xNExExVarxEx首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量，，其中，为待估参数。因为有两个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件：一阶中心矩：＝二阶中心矩：＝＋＝＋用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：nii=1n22n222ii=1ii=1nii=1nn222iii=1i=11ˆˆxxn1ˆxx1ˆˆxnn1xxnxxxnx＝＝＝－＝＋其中，＝为样本均值，上面推导中用到：－＝－xfxEfxOLS任何随机向量的函数的期望都被称为总体矩。事实上，也是一种矩估计。利用解释变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件iiiiiiiii1iiiiiiEx0Exyx0ExyExxExxExyExx－＝－＝＝＝（假设可逆）1nn1MMiiiiOLSi=1i=111ˆˆxxxyXXXynnOLS－－以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计：＝＝＝显然这就是估计量2、工具变量法作为一种矩估计i1i1k-1ik-1kikiikikiyxxxxCovx0OLS，假设回归模型为＝＋＋＋＋假设只有最后一个解释变量为内生变量，即，，因此是不一致的。ikiii1k-1wCovxw0Covw0xx假设有一个有效工具变量满足，（相关性），以及，＝（外生性）。由于，，不是内生变量，故可以把自己作为自己的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）ii1ik-1ikiiiii1ik-1iki1ik-1ixxxxyxzzzzxxw，，，记解释变量向量，则原模型为＝＋记工具变量向量为。iiiiiigzEgEz0定义。由于工具向量与扰动项正交，故＝＝为总体矩条件或正交条件iiiiiiiii11iiiiiiEz0Ezyx0EzyEzxEzxEzyEzx－－由此可得＝－＝＝＝（假定存在）1nn1IViiiii=1i=11n-1n1n-1n11ˆzxzyZXZynnZzzzZzzz－－以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变量估计量：＝＝其中，即下面是工具变量法的大样本性质：iiiiIVIVrEzxkEzxˆˆ定理：若秩条件＝成立（方阵满秩），则在一定的正则条件下，是的一致估计且服从渐近正态分布1IVˆZXZy－证明：抽样误差－＝－11ZXZXZXZ－－＝＋－＝1nnp1iiiiZXi=1i=111zxzSgnn－－＝＝1iii0nnZXiiiii=1i=1EzxEg011Szxgznn－＝＝其中，d2iiiiingN0SSEggEzz与第三章大样本最小二乘法类似的假定和推导，可以证明，，，其中＝IVd1IVZXIV11IViiii1iiˆˆˆnSngN0AVarˆAVarEzxSEzxEzx－－－－进一步，工具变量估计量渐近服从正态分布，即－＝，，其中渐近方差矩阵＝用到为对称矩阵iiiirEzxkwx秩条件＝意味着工具变量与内生解释变量相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略izk123阶条件：中至少包含个变量根据是否满足阶条件可分为三种情况：不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数1IVZXZXˆ－以上介绍的矩估计法仅适用于恰好识别的情况。在过度识别的情况下，不是方阵，不存在无法得到工具变量估计量。若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效的方法是二阶段最小二乘法三、二阶段最小二乘法kSLS显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性）如果生成工具变量的个线性组合，则又回到恰好识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率的呢？可以证明在球形扰动项的假设下，由二阶段最小二乘法（2）所提供的工具变量线性组合是所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小样本理论中的高斯－马尔可夫定理。1k1Li1inin1ii1122kki1xxLzzOLSxxxi1kixxˆˆˆxPxxPxxPxxZˆyXyPyyXPZZZZZ－第一阶段：将每个解释变量，，分别对所有个工具变量，，作回归，其中，＝，，（注意，不同于第二章对第个观测数据的定义）。相当于将视作被解释变量。得到拟合值＝，＝，，＝即到上的投影（相当于对求回归拟合值＝，即到上的投影）其中，为的投影矩阵。写成矩阵形12k12k1ˆˆˆˆXxxxPxxxPXZZZZX－式＝＝＝1L11IV2IVˆXzzˆXkˆXyXˆˆˆˆˆˆXXXyXXXyˆˆXXPXPXXPPXXPXˆPXXXXPˆˆPPPPyX－－第二阶段：由于是，，的线性组合（参见第一阶段回归），故恰好包含个工具变量。使用为工具变量对原模型＝＋进行工具变量法估计：＝＝后一个等号能成立是由于＝＝＝＝＝，其中，投影矩阵为对称幂等矩阵即＝，＝。因此，可以将视为把对进行OLS回归而得到，故名“二阶段最小二乘法”22SLS2SLSˆˆeyXˆeyX注意，第二阶段回归所得到的残差为－而原方程的残差却是－（这是正确的）IVIV122IVˆOLSˆeeˆˆˆVarsXXsn-k－由于的表达式在形式上完全类似于估计量故在条件同方差的假设下，的协方差矩阵估计量为＝，其中，n112IViiii=1ˆˆˆˆˆˆˆVarXXexxXX－－在存在异方差的情况下，则应使用稳健的协方差矩阵估计量，即＝11IV12SLS111ˆˆXZZZZXPZZZZ2SLSˆXPXXPyXZZZZXXZZZZy－－－－－－将＝（或将）代入的公式，可得的最终表达式：＝＝SLSGeneralizedMethodofMomentsGMM在球型扰动项的假定下，2是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关，则存在更有效的方法即“广义矩估计”（，）GMM估计GMM