上海市虹口区2016届高三第一学期期终教学质量监控测试数学试题

（第10题图）RO（第7题图）yAxFBO虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学试卷2016.1考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数1()2xfx的反函数1()_________.fx2．设全集,11,URAxx若集合则UAð______.3．若复数z满足201520161ziii（i为虚数单位），则复数z______.4．在二项式831()xx的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）5．行列式12cos()tan25coscot()xxxx的最大值为______.6.在等差数列na中，1352469,15,aaaaaa则数列na的前10项的和等于_____.7．如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B；若双曲线C的焦距为4，OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为_________________.8.已知数据128,,,xxx的方差为16，则数据121,x2821,,21xx的标准差为.9.已知抛物线28xy的弦AB的中点的纵坐标为4，则AB的最大值为__________.10．如图所示，半径2R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.11.锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同.从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）12.设等比数列na的前n项和为nS,若12364,aaa且2135215()(),nnSaaaanN则______.na13．在由正整数构成的无穷数列na中，对任意的1,,nnnNaa都有且对任意的,kN数列na中恰有kk个，则2016________.a14.若函数2,1,3,1xaxfxxaxax恰有两个零点，则实数a的取值范围是___________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.设、为两个不同平面，若直线l在平面内，则l“”是“”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16.已知直线544xx和是函数()sin()(0,0)fxx图像的两条相邻的对称轴，则的值为（）（A）4（B）3（C）2（D）3417.已知ab、均为单位向量，且0.ab若435,cacb则ca的取值范围是()（A）3,10（B）3,5（C）3,4（D）10,518．设函数22,0,(),0,xxfxlogxx若关于x的方程()fxa有四个不同的解1234,,,,xxxx且1234,xxxx则3122341()xxxxx的取值范围是()（A）3,（B）,3（C）3,3（D）3,3（第19题图）ABCPQA1B1C1三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)本题共2个小题，每小题6分.如图，在正三棱柱111ABCABC中，已知它的底面边长为10，高为20.(1)求正三棱柱111ABCABC的表面积与体积；(2)若PQ、分别是1BCCC、的中点，求异面直线PQAC与所成角的大小（结果用反三角函数表示）.20．(本题满分14分)本题共2个小题，每小题7分.已知ABC的面积为S，且.ABACS（1）求sincos,tan2AAA,的值；（2）若,6,4BCACB求ABC的面积S.21．(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.对于函数1(),1fxx定义11()(),()()().nnfxfxfxffxnN已知偶函数()gx的定义域为(,0)(0,),(1)0g；20150,1()().xxgxfx当且时，（1）求234(),(),(),fxfxfx并求出函数()ygx的解析式；(2)若存在实数,()abab使得函数(),gxab在上的值域为,mbma，求实数m的取值范围.HJ（第23题图）FMxyABNo22.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.已知数列na的前n项和为nS，且20,2().nnSSnnanN（1）计算1234,,,,aaaa并求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足12335(21)23,nnnbbbnba求证：数列nb是等比数列；（3）由数列na的项组成一个新数列nc：1122334567,,,,cacaacaaaa1112212221,nnnnncaaaa.设nT为数列nc的前n项和，试求lim4nnnT的值.23.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,F短轴的两个端点分别为,AB、且2,ABABF为等边三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若12HMHN，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知12ll、是过点A的两条互相垂直的直线，直线1l与圆22:4Oxy相交于PQ、两点，直线2l与椭圆C交于另一点R；求PQR面积取最大值时，直线1l的方程.C1B1A1QPCBA（第19题图）虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学参考答案和评分标准2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．2log1(0)xx2．0,23.24．285．136.807.2213yx8．89.1210．811．509112.14n13．6314．1,12,3二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15.B16.A17.B18.D三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分)本题共2个小题，每小题6分.解：（1）11111223=23=210+31020600503()4ABCABCABCABBASSScm正三棱柱侧矩形……(3分)1112313==10205003()4ABCABCABCVSAAcm正三棱柱……(6分)（2）连结11,,BABC则1//,BCPQ又11//,ACAC故11BCA等于异面直线PQAC与所成角.……(8分)易得1111105,10BCBAAC而，故2221111111115cos.210BCACBABCABCAC于是异面直线PQAC与所成角的大小为5cos.10arc……(12分)20．(本题满分14分)本题共2个小题，每小题7分.解：（1）由ABACS得1cossin2cbAcbAtan2,0,.2AA于是……(4分)进而求得2554sin,cos,tan2.553AAA……(7分)（第21题解图）y1x1-1O（2）66,6.CACBBAc由得即……(9分)26sin225,sinsinsin()252525252bccBbBCAB由正弦定理，有……(12分)1125sin25612.225SbcA于是……(14分)21．(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）因为11()()1,1fxfxxx故2111()()10,1,111fxffxxxxx32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),(3)1fxffxxxxxfxffxxxx分故对任意的3,()()(2,3,4),niinNfxfxi有于是20153671221()()()1(0,1);fxfxfxxxx201510,1()()1.xxgxfxx故当时，1(1)0,0()1.gxgxx又故当时，由()gx为偶函数，1100,()()11.xxgxgxxx当时，11,0,1()1110.xxgxxxx，因此.……(6分)(2)由于()ygx的定义域为(,0)(0,)，又,,abmbmaab可知与同号，0m且;进而(),gxab在递减,且0.ab……(8分)函数()ygx的图像，如图所示.由题意，有1()1,1()1,gamaagbmbb……(10分)故,ab是方程11mxx的两个不相等的负实数根，即方程210mxx在,0上有两个不相等的实根，于是140101010.4mabmabmm……(12分)综合上述，得：实数m的取值范围为1,0.4……(14分)注：若采用数形结合，得出直线ymx与曲线11(0)yxx有两个不同交点，并进行求解也可.22.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.解：（1）当1n时，由1121,Sa得11;a由2120,Saa得21;a当3n时，由33323233,Saa得33;a当4n时，由444242104,Saa得45.a猜想：23().nannN……(3分)下面用数学归纳法证明：①当2n时，21,a结论显然成立；②假设当2nk时，23.kak由条件知2,nnSnan故1111222(1)(1)()(1)1,kkkkkkkaSSkakkakkaka于是11(1)1(23)1(1)(21),2(1)3.kkkkakakkkkak从而故数列na的通项公式为：23().nannN……(6分)另解（1）：当1n时，由1121,Sa得11;a由2120,Saa得21;a当3n时，由33323233,Saa得33.a当4n时，由444242104,Saa得45.a……(2分)当3n时，由条件知2,nnSnan故111222(1)(1)(1)1,nnnnnnnaSSnannannana于是1111(2)(1)1,1221nnnnaananannnn……(4分)112322()()()1122321111111111111()()()()()212233432211nnnnnaaaaaaaannnnnnnnnn从而故23(3).nann于是数列na的通项公式为：23().nannN……(6分)证：（2）当1n时，11231,ba当2n时，由条件得12