2005年全国初中数学竞赛试题及答案

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。）1、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（）A、2B、4C、6D、8答：A解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，所以，S△CEF＝22、若M＝136498322yxyxyx（x，y是实数），则M的值一定是（）A、正数B、负数C、零D、整数解：因为M＝136498322yxyxyx＝222)3()2()2(2yxyx≥0且yx2，2x，3y这三个数不能同时为0，所以M≥03、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（）A、30°B、45°C、60°D、90°答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°4、设A＝)41001441431(48222，则与A最接近的正整数为（）A、18B、20C、24D、25答：D解：对于正整数mn≥3，有)2121(414n12nn，所以A＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148＝)102110111001991(1225因为)102110111001991(12＜99412＜21，所以与A最接近的正整数为25。AAABBBCCCEEDDDFA1BCDAB1C1I5、设a、b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9＜ba＜0.91，则22ab等于（）A、171B、177C、180D、182答：B解：由题设得0.9b＋b＜59，0.91b＋b＞56，所以29＜b＜32。因此b＝30，31。当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜28，这样的正整数a不存在。当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28。所以22ab＝177二、填空题：（共5小题，每小题6分，满分30分。）6、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针，（O为两针的旋转中心），若现在时间恰好是12点整，则经过秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。答：591515解：设OA边上的高为h，则h≤OB，所以S△OAB＝hOA21≤OBOA21当OA⊥OB时，等号成立。此时△OAB的面积最大。设经过t秒时，OA与OB第一次垂直。又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t＝5915157、在直角坐标系中，抛物线2243mmxxy（m＞0）与x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足3211OAOB，则m的值等于答：2解：设方程04322mmxx的两根分别为21,xx且1x＜2x，则有mxx21＜0，22143mxx＜0所以有1x＜0，2x＞0，由3211OAOB，可知OA＞OB，又m＞0，所以，抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是11xxOA，OB＝2x，所以由321121xx得m＝28、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A、2、3、…J、Q、K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是答：第二副牌中的方块6解：根据题意，如果扑克牌的张数为2，22，32，…n2，那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌。现在，手中有108张牌，多出108－64＝44（张），如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰好有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原来顺序的第88张牌。按照两副扑克牌的花色排列顺序，88－54－2－26＝6，所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块6。9、已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2。连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为。答：1089400解：过点E作EF∥AD，且交边BC于点F，则52EACEFDCF所以FD＝255CD＝75，又因为PQ∥CA，所以33287544BFBDBEBPEAPQ，于是PQ＝33140由△QPR∽△ACB，故1089400)3320()CAPQ(SS22CABPQR10、已知1x,2x,…，40x都是正整数，且584021xxx，若2402221xxx的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于。答：494解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2402221xxx的最小值和最大值是存在的。不妨设1x≤2x≤…≤40x，若1x＞1，则1x＋2x＝)1()1(21xx，且2)(2)1()1(1222212221xxxxxx＞2221xx所以当1x＞1时，可以把1x逐步调整到1，这时，2402221xxx将增大；同样地，可以把2x，3x，…39x逐步调整到1，这时2402221xxx将增大。于是，当1x，2x，…39x均为1，40x＝19时，2402221xxx取得最大值，即A＝400191112222。若存在两个数ix，jx，使得jx－ix≥2(1≤i＜j≤40），则)1(2)1()1(2222ijjijixxxxxx＜22jixxABCDFEPQR39个这说明在1x,2x,…，40x中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，2402221xxx将减小。所以，当2402221xxx取到最小时，1x,2x,…，40x中任意两个数的差都不大于1。于是，当12221xxx，2402423xxx时，2402221xxx取得最小值，即B＝222222222111＝94，故A＋B＝494三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11、某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人？解：设原长方形队列有同学8x人，由已知条件知8x＋120和8x－120均为守全平方数。于是可设2212081208nxmx其中m、n均为正整数，且m＞n。①－②得24022nm即532240))((4nmnm由①、②可知，2m、2n都是8的倍数，所以m、n均能被4整除。于是m＋n，m－n均能被4整除。所以460nmnm或1220nmnm解得：2832nm或416nm所以，90412032120822mx或13612016120822mx。故原长方形队列有同学136人或904人。12、已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程05)108(2pqxqpx至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）。解：由方程两根的和为8p－10q可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数。由方程两根的积为5pq，知方程的另一个根也是正整数。设方程的两个正整数根分别为1x，2x（1x≤2x），由根与系数的关系得1x＋2x＝8p－10q①1x2x＝5pq②由②得，1x，2x有如下几种可能的情况：22个18个①②pqpqpqpqxqpqpx,,5,5,,55,5,,,5,121所以1x＋2x＝5pq＋1，pq+5，p＋5q，q＋5p，代入①当1x＋2x＝5pq＋1时，5pq＋1＝8p－10q，而5pq＋1＞10p＞8p－10q，故此时无解。当1x＋2x＝pq＋5时，pq＋5＝8p－10q，所以（p＋10）（q－8）＝－85因为p、q都是质数，只可能85,17101,58pq所以（p，q）＝（7，3）当1x＋2x＝p＋5q时，p＋5q＝8p－10q，所以7p＝15q，不可能。当1x＋2x＝5p＋q时，5p＋q＝8p－10q，所以3p＝11q，于是（p，q）＝（11，3）综上所述，满足条件的质数对（p，q）＝（7，3）或（11,3）13、如图，分别以△ABC（△ABC为锐角三角形）的边AB，BC，CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB，EBC，FAC。求证：（1）AE＝DF；（2）AE⊥DF。证明：（1）延长BD至点P，使DP＝BD，连结AP、CP。因为△DAB是等腰直角三角形，所以∠ADB＝90°，AD＝BD，22BDAB在等腰直角三角形EBC中，∠BEC＝90，BE＝CE，22BCBE所以BCBEBPAB因为∠PBC＝∠PBA＋∠ABC＝45°＋∠ABC，∠ABE＝∠CBE＋∠ABC＝45°＋∠ABC所以∠PBC＝∠ABE。于是△ABE∽△PBC，22BPABPCAE即AE＝22PC。同理，在△ADF和△APC中，有22APADACAF,∠DAF=∠PAC=45°+∠DAC所以△ADF∽△APC22APADPCDF即DF＝22PC。所以，AE＝DF。（2）因为△ADF∽△APC，所以∠ADF＝∠APC，又由△ABE∽△PBC，得∠BAE＝∠CPB，于是∠DAE＋∠ADF＝45°＋∠BAE＋∠ADF＝45°＋∠CPB＋∠APC＝90°所以，AE⊥DF。ABCFPDE14、从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a，b，c（a＜b＜c），都有ab≠c。解：首先，1，14，15，…，205这193个数，满足条件。事实上，设a，b，c（a＜b＜c）这三个数取自1，14，15，…，205。若a＝1，则ab＝b＜c；若a＞1，则ab≥14×15＝210＞c另一方面，考虑如下12个数组：（2，25，2×25），（3，24，3×24），（13，14，13×14）上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182＜205所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来。于是，如果取出来的数满足题设条件，那么取出来的数的个数不超过205－12＝193（个）综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件。