第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学)

第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2011年3月）考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.题号一二三四五六七总分满分15101517161215100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其他纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3、如当题空白不够，可写在当页的背面，并标明题号.得分评阅人一、（本题共3小题,每小题各5分,共15分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)11cos0sinlimxxxx−→⎛⎞⎜⎟⎝⎠;(2)111lim12nnnnn→∞⎛⎞+++⎜⎟+++⎝⎠;(3)已知求2ln(1e)arctane,ttxyt⎧=+⎪⎨=−⎪⎩22ddyx.二、（本题10分）求方程(24)d(1)d0xyxxyy+−++−=的通解.得分评阅人三、（本题15分）设函数()fx在0x=的某邻域内有二阶连续导数,且(0)f,(0)f′,(0)f′′均不为零.证明：存在唯一一组实数,使得123,,kkk12320()(2)(3)(0)lim0hkfhkfhkfhfh→++−=.得分评阅人得分四、（本题17分）设1Σ:2222221xyzabc++=,其中,0abc评阅人12Σ:,为和的交线.求椭球面22zxy=+2Γ1Σ2Σ1Σ在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题16分）已知是空间曲线S22310xyz⎧+=⎨=⎩绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧）,y0z≥Π是在点处的切平面,S(,,)Pxyz(,,)xyzρ是原点到切平面Π的距离,,,λμν表示的正法向的方向余弦.S计算：（1）d(,,)SzSxyzρ∫∫;（2）.(3)dSzxyzSλμν++∫∫得分评阅人得分六、（本题12分）设()fx是在(,)−∞+∞内的可微函数,且|()|(评阅人)fxmfx′,其中01m.任取实数,定义.证明：0a1ln(),1,2,nnafan−==11(nnnaa+∞)−=−∑绝对收敛.得分七、（本题15分）是否存在区间[0上的连续可微函数,2]评阅人20()d1fxx≤∫()fx,满足(0)(2)1ff==|()|fx1′≤,,？请说明理由.2