上海市杨浦区2015年高考数学一模试卷（文科）（解析版）

2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，则α=．2．设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．若在等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式an=．4．已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．6．二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是．8．已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为．12．已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}，则集合A的子集个数为．13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．14．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则实数p的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞816．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0D．18．对数列{an}，{bn}，若区间[an，bn]满足下列条件：①[an+1，bn+1]⊊[an，bn]（n∈N*）；②，则称{[an，bn]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．已知函数是奇函数（a，b，c为常数）（1）求实数c的值；（2）若a，b∈N*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围．22．如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．23．数列{an}各项均不为0，前n项和为Sn，bn=an3，bn的前n项和为Tn，且Tn=Sn2（1）若数列{an}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：an=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{an}，并使得a2015=﹣2014．2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，则α=或．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】根据sinα的值以及α的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α的度数．【解答】解：∵sinα=，且α∈（0，π），∴α=或．故答案为：或【点评】此题考查了三角函数的化简求值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．2．设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据子集的概念即可得到，解不等式组即得m的取值范围．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．【点评】考查描述法表示集合，以及子集的概念．3．若在等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式an=﹣n+10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据所给的a3=7，a7=3，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．【解答】解：设数列的公差为d∵a3=7，a7=3，∴a1+2d=7，a1+6d=3，∴a1=9，d=﹣1，∴an=﹣n+10．故答案为：﹣n+10．【点评】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”首项、公差、公比、通项公式、前n项和是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．4．已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1=0．【考点】直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】直接写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1=0．故答案为：x+y+1=0．【点评】本题考查了直线的两点式方程，是基础的会考题型．5．函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）=﹣（x＞﹣1）．【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出值域值域为（﹣1，+∞），根据得出x=，转化变量求解反函数即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y=x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）=﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）【点评】本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围．6．二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求得展开式（按x的降幂排列）中的第4项．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3=﹣84x3，故答案为：﹣84x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用对数函数的单调性，即可得到x2﹣3x＞4，再由二次不等式的解法，即可得到解集．【解答】解：log2（x2﹣3x）＞2即为log2（x2﹣3x）＞log24，即有x2﹣3x＞4，解得，x＞4或x＜﹣1．则解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查二次不等式的解法，属于基础题．8．已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先由绝对值不等式|x+1|≤2解得﹣3≤x≤1；再由p是q的充分不必要条件，知﹣3≤x≤1⇒x≤a，而反之不可，则可求出a的取值范围．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件及必要条件的含义．9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．故答案为：．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】有题意需要分两类，第一类，当爷爷在6排D座时，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有=18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有=12种，根据分类计数原理共有18+12=30种，故答案为：30【点评】本题考查了分类计数原理，关键如何分类，属于基础题11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．12．已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}，则集合A的子集个数为16．【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】先判断集合集合A中的元素的个数，再利用子集的个数公式进行进行求解；【解答】解：∵集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}，取n=1，2，3，4…，∴A={1+i，i，0，1}，一共有4个元素，∴集合A的子集的个数为：24=16，故答案为：16．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【考点】余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：【点评】本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．14．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则实数p的值为．【考点】对数函数的图象与性质．