教辅：高考数学大二轮专题复习冲刺方案-第一编第1讲

第1讲函数与方程思想第一编讲方法「思想方法解读」函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题．热点题型探究热点1函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)(2020·湖南省长郡中学高三第四次适应性考试)若0x1，则ln3＋13，x2＋1ex2，x＋1ex的大小关系是()A．x2＋1ex2ln3＋13x＋1exB．x2＋1ex2x＋1exln3＋13C．ln3＋13x＋1exx2＋1ex2D．ln3＋13x2＋1ex2x＋1ex答案B解析设f(x)＝x＋1ex，则f′(x)＝－xex，令f′(x)0⇒x0，令f′(x)0⇒x0，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．若0x1，则0x2x1ln3，因此f(x2)f(x)f(ln3)，即x2＋1ex2x＋1exln3＋13.故选B.(2)已知f(x)＝log2x，x∈[2，16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析因为x∈[2，16]，所以f(x)＝log2x∈[1，4]，即m∈[1，4].不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立．构造函数g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1，4]上恒大于0，所以g（1）＞0，g（4）＞0，即x－2＋（x－2）2＞0，4（x－2）＋（x－2）2＞0，解得x＜－2或x＞2.函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0答案B解析把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数f(t)＝2t－5－t，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.故选B.2．(2020·山东省第一次仿真联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)3x，则不等式f(x)－f(x－1)3x－32的解集是()A．－12，0B．－∞，－12C．12，＋∞D．－∞，12答案D解析设g(x)＝f(x)－32x2，则g′(x)＝f′(x)－3x.因为当x≥0时，f′(x)3x，所以当x≥0时，g′(x)0，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，因为f(x)－f(x－1)3x－32，所以f(x)－32x2f(x－1)－32(x－1)2，即g(x)g(x－1)，则|x||x－1|，解得x12.热点2函数与方程思想在数列中的应用例2等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则数列{an}的公差d＝________，nSn的最小值为________．23－49解析由题意知10a1＋45d＝0，15a1＋105d＝25，解得d＝23，a1＝－3，所以nSn＝nna1＋n（n－1）2d＝n3－10n23，设f(x)＝x3－10x23(x＞0)，则f′(x)＝13x·(3x－20)，令f′(x)＝0，解得x＝203(x＝0舍去)，当x∈0，203时，f(x)单调递减，当x∈203，＋∞时，f(x)单调递增．所以当x＝203时，f(x)取得极小值．取n＝6，得f(6)＝－48，取n＝7，得f(7)＝－49，故nSn的最小值为－49.数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．答案212解析根据数列的递推关系式an＋1－an＝2n，可利用累加法求解其通项公式，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33.所以ann＝33n＋n－1，设f(x)＝33x＋x－1，令f′(x)＝－33x2＋1＞0，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n∈N*，所以当n＝5或6时，ann有最小值．又因为a55＝535，a66＝636＝212，所以ann的最小值为a66＝212.热点3函数与方程思想在解析几何中的应用例3(2020·山东省青岛市高三一模)已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为点F1，F2，F2又恰为抛物线D：y2＝4x的焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点．(1)求椭圆C的标准方程；解(1)因为F2为抛物线D：y2＝4x的焦点，故F2(1，0)，所以c＝1，又因为以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点知，b＝c，所以a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线x＝－1的距离分别为d1，d2，|AB|＝d1＋d2.直线l与C相交于E，F两点，记△OAB，△OEF的面积分别为S1，S2.①证明：△EFF1的周长为定值；解(2)①证明：由抛物线的定义知，|AB|＝d1＋d2＝|AF2|＋|BF2|.又因为|AB|≤|AF2|＋|BF2|，等号当且仅当A，B，F2三点共线时成立，所以直线l过定点F2，根据椭圆定义得，|EF|＋|EF1|＋|FF1|＝|EF2|＋|EF1|＋|FF1|＋|FF2|＝4a＝42.②求S2S1的最大值．解②若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1.因为|AB|＝4，|EF|＝2，所以S2S1＝|EF||AB|＝24.若直线l的斜率存在，则可设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由y2＝4x，y＝k（x－1），得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2k2＋4k2，|AB|＝x1＋x2＋2＝4k2＋4k2.设E(x3，y3)，F(x4，y4)，由x22＋y2＝1，y＝k（x－1），得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x3＋x4＝4k21＋2k2，x3x4＝2k2－21＋2k2，所以|EF|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2·（x3＋x4）2－4x3x4＝22（1＋k2）1＋2k2，则S2S1＝|EF||AB|＝k22（1＋2k2）＝22×11k2＋2∈0，24.综上知，S2S1的最大值为24.解析几何中的最值问题、范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2，1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且|AB|＝3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆．(1)求C2与C3的标准方程；解(1)由已知，设抛物线C1的方程为x2＝2py(p0)，则4＝2p，解得p＝2，即C1的标准方程为x2＝4y.则F2(0，1)，不妨设椭圆C2的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，由y2a2＋x2b2＝1，y＝－1，得x＝±b2a，所以|AB|＝2b2a＝3，又a2＝b2＋1，所以a＝2，b＝3，故C2的标准方程为y24＋x23＝1.易知|OF2|＝1，所以C3的标准方程为x2＋y2＝1.(2)若动直线l与C3相切，且与C2交于M，N两点，求△OMN的面积S的取值范围．解(2)因为直线l与C3相切，所以圆心O到直线l的距离为1.所以S＝12×|MN|×1＝|MN|2.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝±1，易知两种情况所得到的△OMN的面积相等．由y24＋x23＝1，x＝1得y＝±263.不妨设M1，263，N1，－263，则|MN|＝463，此时S＝|MN|2＝263.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，则|m|1＋k2＝1，即m2＝k2＋1.由y24＋x23＝1，y＝kx＋m得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，所以Δ＝36k2m2－4(3k2＋4)(3m2－12)＝48(4＋3k2－m2)＝48(2k2＋3)0恒成立．设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xM＋xN＝－6km3k2＋4，xMxN＝3m2－123k2＋4.所以S＝|MN|2＝121＋k2（xM＋xN）2－4xMxN＝121＋k2－6km3k2＋42－4×3m2－123k2＋4＝121＋k2·48（2k2＋3）3k2＋4＝231＋k22k2＋33k2＋4.令3k2＋4＝t(t≥4)，则k2＝t－43，所以S＝2332t2－t－1t2＝233－1t2－1t＋2，令1t＝m′，则m′∈0，14，易知y＝－m′2－m′＋2在区间0，14上单调递减，所以32≤S263.综上，△OMN的面积S的取值范围为32，263.本课结束