1992_年加拿大数学竞赛试题

1992年加拿大數學競賽試題王子俠譯1.試證1×2×...×n能被1+2+...+n整除之充分且必要條件為:n+1不為奇質數。2.設x,y,z為非負實數。試證不等式x(x−z)2+y(y−z)2≥(x−z)(y−z)(x+y−z)並決定出等號成立的情形。3.在附圖中,ABCD為一正方形。U及V分別表在邊AB及CD上之任意內點。試決定出所有U及V的位置,使得四邊形PUQV之面積為最大。4.試解方程式x2+x2(x+1)2=3。5.假定一副牌由一張百搭(Joker)及其他2n張牌組成,而對1,2,...,n中之每一個數k均有兩張牌的號碼是k。今欲將此2n+1張牌排成一列,滿足下述條件:百搭在當中,而對任意整數k(1≤k≤n),在兩張號碼為k的牌中間恰好有k−1張牌。(a)試求出所有使這種排列可能之n(n≤10)之值。(b)對那些n之值所求之排列為不可能?—本文譯者任教於加拿大滑鐵盧之WilfridLaurier大學並為加拿大數學競賽委員會之會員—1