赣州市2014—2015学年第二学期高三理科数学期中试题及答案

正视图侧视图俯视图5343（11题图）2014—2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级数学（理科）试卷命题学校：会昌中学寻乌中学命题人：黄小锋审题人：陈兴盛、蓝元伦一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合)23lg(xyxA，集合xyyB1，则BA（）A．)23,0[B．（﹣∞，1]C．D．2．已知向量21,ee是两个不共线的向量，若212eea与21eeb共线，则λ的值为()A.1B.21C.1D.213．直线:1lykx与圆221xy相交于A，B两点，则“△OAB的面积为43”是“3k”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．设随机变量服从正态分布N（0，1），若)02(,)2(PpP则（）A．p21B．p1C．p21D．p215．设yx,满足约束条件1011yxxyx，则目标函数2xyz的取值范围为（）A．3,3B．2,2C．1,1D．32,326．在ABC中，ABC、、的对边分别为abc、、，且cos3coscosbCaBcB，2BABC，则ABC的面积为()A．2B．23C．22D．247．定义在R上的偶函数)(xf满足：对任意的))(0,(,2121xxxx，都有0)()(1212xxxfxf.则（）A．)5(log)2()3.0(23.02fffB．)3.0()2()5(log23.02fffC．)2()3.0()5(log3.022fffD．)2()5(log)3.0(3.022fff8．5)31(yx的展开式中不含x的项的系数和为()A．32B．32错误!未找到引用源。C．64错误!未找到引用源。D．64错误!未找到引用源。9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A．2＋2错误!未找到引用源。B．5＋1错误!未找到引用源。C．3＋1错误!未找到引用源。D．2＋1错误!未找到引用源。10.设函数xxxfcos1sin3)(的所有正的零点从小到大依次为,.....,,321xxx.设2015321....,xxxx，则sin的值是（）A.0B.23C.23D.111．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A．310cmB．320cmC．330cmD．340cm12．已知函数)10()(aaaxfx且和函数xxg2sin)(，若)(xf的反函数为)(xh，且)(xh与)(xg两图象只有3个交点，则a的取值范围是（）A．)29,1()1,51(B．)29,1()71,0(C．)9,5()31,71(D．)9,3()21,71(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若复数iaaz)2()4(2为纯虚数，则iia212015的值为14．设1201xdx，tan3，则tan．15．当输入的实数2,30x时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是。16．若5)(0,,bccbaacba且，则cba2的最小值为。三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足532,,aaa成等比数列，456S。求数列{an}的通项公式；令2112nnnnnSSSSp，是否存在正整数M，使不等式Mnpppn2....21恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分12分）某大学自主招生分笔试和面试两部分，老师把参加笔试的40名学生的成绩分组：第1组[75,80），第2组[80,85），第3组[85,90），第4组[90,95），第5组[95,100），得到频率分布直方图如图所示：分别求成绩在第4，5组的人数；若该教师决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111CC中，侧面11CC与侧面11CC都是菱形，111CCCC60，C2，16．求证：1111BCCB平面ACCA平面；求二面角11C的余弦值．20、（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率，右焦点到直线1byax的距离721d，O为坐标原点.（I）求椭圆C的方程；（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数xxxfln)(。（Ⅰ）函数)(xf的单调增区间和最小值；（Ⅱ）设函数1)()(xxfxh，若对任意[1,),()(1)xhxmx恒成立，求实数m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22、（本小题满分10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．23、（本小题满分10分）已知直线l的参数方程是222422xtyt（t是参数），⊙C的极坐标方程为22cos()4．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．24．（本小题满分10分）已知函数()2123fxxx．（Ⅰ）求不等式()6fx的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式()1fxa的解集非空，求实数a的取值范围．2014—2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级数学（理科）参考答案一、选择题1—5:ABBCD6—10：CABDA11—12：BC二、填空题13、i14、-215、91416、52三、解答题17．（本小题满分12分）解(1)设公差为d,由已知，得5223aaadadaada222223得，………………………………2分由456S得15322da3332nadan…………………………………………………………5分(2)由(1)得2)1(3nnSn，……………………………….……….6分∴pn＝2)1)(2(32132)1(32123nnnnnnnn＝2＋2n－2n＋2，…………………………………………………..…8分∴p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n＝2＋21－23＋2＋22－24＋…＋2＋2n－2n＋2－2n＝2＋1－2n＋1－2n＋2.由n是整数可得p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n3……………………11分故存在最小的正整数M＝3，使不等式p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n≤M恒成立．…….12分18．（本小题满分12分）解（Ⅰ）第4组学生人数为0.045408，第5组人数为0.025404所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人-----------------------------------------4分（Ⅱ）①因为第3组学生人数为0.0654012，所以第3，4，5中抽取的人数分别是3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为110312122CPC---------------------8分②由①知，X的可能取值为0，1，2所以21124422222666281(0),(1),(2)51515CCCCPXPXPXCCCX分布列为2812012515153EX---------------------------------------------12分19、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，且OA=OB1=3，AB1＝6由勾股定理可知OA⊥OB1，OA11BCCB平面1111BCCB平面ACCA平面…5分（Ⅱ）解：如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0，3)，…6分设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，因为AB1→＝(3，0，－3)，AC→＝(0，－1，－3)，所以3×x1＋0×y1－3×z1＝0，0×x1－1×y1－3×z1＝0，取m＝(1，－3，1)．…8分设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，因为AB1→＝(3，0，－3)，AA1→＝(0，2，0)，所以3×x2＋0×y2－3×z2＝0，0×x1＋2×y1＋0×z1＝0，取n＝(1，0，1)．…10分则cosm，n＝m·n|m||n|＝25×2＝105，因为二面角C-AB1-A1为钝角，所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-105．…12分20．（本小题满分12分）（I）由题意得，∴，∴……………………………….1分X012P25815115ABCA1B1C1zyxO由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，∴，…………………………………………………………………………..3分∴∴椭圆C的方程为………………………………………………….4分（II）当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为7212x，此时原点与直线AB的距离7212d…..5分当直线AB斜率存在时，设，直线AB的方程为则，，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根，∴……………………………………….6分，∴整理得，∴，∴O到直线AB的距离综上：O到直线AB的距离定值.……9分，当且仅当OA=OB时取“=”号.∴，又，∴,即弦AB的长度的最小值是………………………………………..12分21．（本小题满分12分）解：（1）f′（x）=1+lnx，……………………………………………………….1分令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞；故f（x）的单调增区间为（，+∞）；f（x）的单调减区间为（0，）；………………………………………………..3分故f（x）的最小值为f（）=﹣；………………………………………………4分（2）由题可得……………………………………………………5分设，即.…………………………………………6分①
若，，这与题设矛盾…………7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立…………………………………………9分当时，方程，其两根满足：，，当时，，单调递增，，与题设矛盾…………………11分综上所述，………………………………………………………………………………………12分22、（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．…………..5分（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OP﹣AC=6，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD﹣AC=6﹣4=2，在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．………………………………………….10分23、（本小题满分10分）解：（I）由⊙C的极坐标