高考数学复习 函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数高二数学选修1-1第三章导数及其应用1.函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f´(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增;那么y=f(x)在这个区间内单调递减如果f´(x)0,复习引入：在某个区间（a,b)内,2.用导证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f’(x)(3)确认f’(x)在(a,b)内的符号；（4）作出结论。例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO1),(2)(),(3)(),(4)()BADC解：（）（（1）（2）（3）（4）一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。练习3.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:2()(0)fxaxbxca()2.fxaxb0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab练习4.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:32()267fxxx2()612.fxxx)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf函数单调性与导数的关系1.如果在区间(a,b)内f’(x)0(f’(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围题型：根据函数的单调性求参数的取值范围325f(x)ax-xx-,解：在(-,+)上单调递增23210f'(x)ax-x在(-,+)上恒成立。04120aa13a2120101fxaxx,,fxxx,a.例2：已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax解：()∵函数在（0，1]上单调递增f'x()0,31gxx而()在（0，1]上单调递增，1a-gxgmax()(1)=-1所以a的范围是[-1，+）31a-xx即在（0，1]上恒成立43(g'xx()0在（0，1]上恒成立）注：在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)232fxax-x解：()=在（0，1]上是增函数，2230f'xa-x()=在（0，1]上恒成立，232ax即：在（0，1]上恒成立，23322g(x)x而在（0，1]上的最大值为，32a。练习：已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。解：f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，∴a0且△=36+12a≤0，∴a≤-3例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12f(x)x-sinx,x(,)解：112f'(x)cosxf(x)在（，）上是单调函数，00xfx而当时，（)=01002xsinxx.方程有唯一的根求函数的单调区间。变1：求函数的单调区间。3233yxx233yxx理解训练：'63yx解：11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变3：求函数的单调区间。1yx变2：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，cossin335(,)(,2)(,)(2,3)22.2..2.yxxxABCD函数在下面哪个区间内是增函数()(04年全国理)B(,2)该函数在上为增函数。xxxx(,2)sin0,sin0,如图,当时，yxxxxx''cos(cos)'(sin)'解：xxxxxxcossinossincy'0即：xyo23yxsin练习作业P982