高中数学人教A版必修(第二册)第六章-平面向量及其应用知识点

1第六章平面向量及其应用1．向量的概念与向量的模（1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．海拔、温度、角度都是数量，不是向量。向量可以平移，与位置无关。（2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如𝐴𝐵→、𝐵𝐶→，…字母表示，用小写字母𝑎→、𝑏→，…表示．有向线段的长度为模，表示为|AB→|、|𝑎→|．（3）向量的模：𝐴𝐵→的大小，也就是𝐴𝐵→的长度（或称模），记作|AB→|．（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向是任意的．（5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与𝐴𝐵→共线的单位向量是±𝐴𝐵→|AB→|）．（6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．如果𝑎→，𝑏→，𝑐→是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则𝑎→∥𝑏→∥𝑐→。任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．平行向量没有传递性。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。（8）相反向量：与𝑎→长度相等方向相反的向量叫做𝑎→的相反向量，记作-𝑎→．2．向量的加法运算（1）三角形法则：𝐴𝐵→+𝐵𝐶→=𝐴𝐶→特征：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。2（2）平行四边形法则：ABCD为平行四边形，则𝐴𝐵→+𝐴𝐷→=𝐴𝐶→特征：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变）（3）向量的加法性质①𝑎→+0→=0→+𝑎→=𝑎→；𝑎→+（−𝑎→）=0→；②𝑎→+𝑏→=𝑏→+𝑎→；③（𝑎→+𝑏→）+𝑐→=𝑎→+（𝑏→+𝑐→）．④|𝒂→+𝐛→|≤|𝒂→|+|𝐛→|4．向量的减法运算法则：𝑂𝐴→−𝑂𝐵→=𝐵𝐴→特征；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量.(一个向量等于由第三点指向终点的向量减去由第三点指向起点的向量)5．向量数乘和线性运算（1）向量的数乘：实数λ与向量𝑎→的积是一个向量，记作λ𝑎→，它的大小为|λ𝑎→|＝|λ||𝑎→|，其方向与λ的正负有关．若|λ𝑎→|≠0，当λ＞0时，λ𝑎→的方向与𝑎→的方向相同，当λ＜0时，λ𝑎→的方向与𝑎→的方向相反．当λ＝0时，λ𝑎→与𝑎→平行．对于非零向量a、b，当λ≠0时，有𝑎→∥𝑏→⇔𝑎→=λ𝑏→.（2）向量数乘运算法则①1𝑎→=𝑎→；（﹣1）𝑎→=−𝑎→；②（λμ）𝑎→=λ（μ𝑎→）=μ（λ𝑎→）；③（λ+μ）𝑎→=λ𝑎→+μ𝑎→；3④λ（𝑎→+𝑏→）＝λ𝑎→+λ𝑏→．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意𝑎→−𝑎→=0→。一般地，λ𝑎→+μ𝑏→叫做𝑎→，𝑏→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果𝑙→=λ𝑎→+μ𝑏→，则称𝑙→可以用𝑎→，𝑏→线性表示．（3）向量𝒂→(𝒂→≠𝟎→)与向量𝒃→共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使𝐛→=λ𝒂→.（4）A、B、C三点共线⇔𝑨𝑪→∥𝑨𝑩→⇔𝑨𝑪→=𝛌𝑨𝑩→.6．平面向量数量积（1）向量的夹角：对于两个非零向量𝑎→，𝑏→如果以O为起点，作𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=𝑏→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量𝑎→与向量𝑏→的夹角，其中0≤θ≤π．（2）向量的数量积：如果两个非零向量𝑎→，𝑏→的夹角为θ，那么我们把|𝒂→||𝐛→|osθ叫做𝑎→与𝑏→的数量积，记做𝑎→•𝑏→即：𝒂→•𝒃→=|𝒂→||𝐛→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•𝑎→=0．注意：①𝑎→•b→表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（3）平面向量数量积的重要性质：设𝑎→，𝑏→都是非零向量，𝑒→是与𝑏→方向相同的单位向量，𝑎→与𝑏→和夹角为θ，则：①𝑎→•𝑒→=𝑒→•𝑎→=|𝒂→|cosθ；②𝒂→⊥𝒃→⇔𝒂→•𝒃→=0；（判定两向量垂直的充要条件）4③当𝑎→，𝑏→方向相同时，𝑎→•𝑏→=|𝒂→||𝐛→|；当𝑎→，𝑏→方向相反时，𝑎→•𝑏→=−|𝒂→||𝐛→|；特别地：𝑎→•𝑎→=|𝑎→|2或|𝒂→|=√𝑎→•𝑎→（用于计算向量的模）④cosθ=𝒂→•𝒃→|𝒂→||𝐛→|（θ为锐角⇔𝒂•→𝒃→0且𝒂→•𝒃→≠|𝒂→||𝐛→|；θ为钝角⇔𝒂→•𝒃→0且𝒂→•𝒃→≠−|𝒂→||𝐛→|）⑤|𝒂→•𝐛→|≤|𝒂→||𝐛→|（4）平面向量数量积的运算律①交换律：𝑎→•𝑏→=𝑏→•𝑎→；②数乘向量的结合律：（λ𝑎→）•𝑏→=λ（𝑎→•𝑏→）=𝑎→•（𝜆𝑏→）；③分配律：（𝑎→+𝑏→）•𝑐→=𝑎→•𝑐→+𝑏→•𝑐→（5）平面向量数量积的运算性质①（𝑎→±𝑏→）2=𝑎→2±2𝑎→•𝑏→+𝑏→2．②（𝑎→−𝑏→）•（𝑎→+𝑏→）=𝑎→2−𝑏→2．③𝑎→•（𝑏→•𝑐→）≠（𝑎→•𝑏→）•𝑐→，（6）投影：𝑏→在𝑎→上的投影是一个数量|𝐛→|cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（7）投影向量：𝒂→在𝒃→上的投影向量等于|𝑎→|cosθ𝒆→（其中𝒆→为与𝒃→同向的单位向量）7．平面向量基本定理如果𝒆𝟏→、𝒆𝟐→是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量𝒂→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使𝒂→=𝝀𝟏𝒆𝟏→+𝝀𝟐𝒆𝟐→．我们把{𝒆𝟏→，𝒆𝟐→}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．8．平面向量的坐标运算5（1）平面向量的坐标表示：𝑎→=（x，y）表示以原点为起点，以（x，y）为终点的向量．（2）平面向量的坐标运算：①若A（x1，y1），B（x2，y2），则𝐴𝐵→=（x2﹣x1，y2﹣y1）②若𝑎→=（x，y）则|𝑎→|=√𝑥2+𝑦2，𝑎→2=|𝑎→|2=𝑥2+𝑦2，λ𝑎→=（λx，λy）③若𝑎→=（x1，y1），𝑏→=（x2，y2），则：𝑎→+𝑏→=（x1+x2，y1+y2）；𝑎→−𝑏→=（x1﹣x2，y1﹣y2）；𝑎→•𝑏→=x1x2+y1y2。④平面向量平行的坐标表示：若𝒂→=（x1，y1），𝒃→=（x2，y2），则𝒃→∥𝒂→（𝒂→≠𝟎→）⇔𝐛→=λ𝒂→⇔x1y2﹣x2y1＝0．⑤平面向量垂直的坐标表示：若𝒂→=（x1，y1），𝒃→=（x2，y2），则𝒃⊥→𝒂→⇔𝒂→•𝒃→=0⇔x1x2+y1y2＝0．⑥向量的夹角公式：cosθ=𝑎→•𝑏→|𝑎→||𝑏→|=x1x2+y1y2√x12+y12•√x22+y229．向量中一些常用的结论：（1）在ABC中，①若112233,,,,,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。②1()3PGPAPBPCG为ABC重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；④向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；（2）向量𝐏𝐀→、𝐏𝐁→、𝐏𝐂→三终点A、B、C共线存在实数λ、μ使得𝐏𝐀→=λ𝐏𝐁→+μ𝐏𝐂→且λ+μ=1.610．三角形中的重要结论①在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边对等角。BABAbasinsin②在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，当然也可以是锐角，中间的角和最小的角一定为锐角。③三角形内角的正弦值一定大于0，锐角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，钝角的余弦值小于0.11．三角形中的诱导公式CBABCAACBsinsinsinsinsinsinBCACBAACBcoscoscoscoscoscosBCACBAACBtantantantantantan2sin2cos2cos2sinCBACBA12．正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式定理正弦定理余弦定理内容𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=𝑎2𝑅，sinB=𝑏2𝑅，sinC=𝑐2𝑅；③asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA④a：b：c＝sinA：sinB：sinC；𝑎𝑏=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵⑤𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎+𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑎+𝑏+𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶cosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐，cosB=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐，cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏解决①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；①已知三边，求各角；7三角形的问题②已知两边和一边对角，求另一边和其他两角③边角互化②已知两边和一角，求第三边和其他两角13．三角形常用面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA=𝑎𝑏𝑐4𝑅=12（a+b+c）r14．三角形解的个数的判断已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知𝑎，𝑏，A，则:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解8平面向量基础知识练习题1、与𝑎→共线的单位向量是__________，𝑎→的相反向量是__________2、平行向量也叫__________3、𝐴𝐵→+𝐵𝐶→=_________𝑂𝐴→−𝑂𝐵→=_________𝑎→−𝑎→=____94、|𝑎→+𝑏→|___|𝑎→|+|𝑏→|5、向量𝑎→(𝑎→≠0→)与向量𝑏→共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_________6、A、B、C三点共线⇔𝐴𝐶→∥𝐴𝐵→⇔________7、𝑎→•𝑏→=________𝑎→2=_________0→•𝑎→=__________8、𝑎→，𝑏→方向相同⇔_______________________𝑎→，𝑏→方向相反⇔__________a→，b→夹角θ为锐角⇔______________________a→，b→夹角θ为直角⇔____________a→，b→夹角θ为钝角⇔_____________________9、𝑏→在𝑎→上的投影=____________，𝑒→为与𝑏→同向的单位向量，𝑎→在𝑏→上的投影向量等于______________10、平面向量基本定理：如果𝑒1→、𝑒2→是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量𝑎→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使__________．我们把{𝑒1→，�