3龚漫奇7.7-7.8常系数齐与非齐次线性微分方程

,e21xCxCY例0)1(yyxyx的通解为解1111xyxyxxy已知齐次方程.)1()1(2的通解求xyyxyx将所给方程化为2211yCyCy利用公式xWfyyd21.d12xWfyy;2211yCyCy已知的通解为0)()(yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy则的通解为.2121yyyyW其中,,,)(,)(21yyxfxP本题1xx1xxxe)()(xxexexW,xxexexdWfy2xdexexexxx)1(,xxdWfy1xdexxxx)1()1()(xedxdxexexx),1(xex)1(221xxeCxCyx所求.7338P作业：2211yCyCy利用公式xWfyyd21.d12xWfyy;2211yCyCy已知的通解为0)()(yxQyxPy)()()(xfyxQyxPy则的通解为.2121yyyyW其中).(22111是其通解故无关的另一解是该方程与yCyCyy结论2(隐含于P336-倒3行)xdeyyyPdx21121;1y已知的非零解为)1(0)()(yxQyxPy则证明,)()(11uyxyxuy令代入(1)并化简,得uyPyuy)2(111uyQyPy)(1110uz令0)2(111zyPyzy一阶线性方程01111112,,yuyuyuyyuyuyuyy][CdxQeeyQPyyPdxPdxx的通解为：1C取dxPyyezu)2(11uyyyeyPdx12211xdeyyPdx2111)(刘维尔公式.5338P作业：).(22111是其通解故无关的另一解是该方程与yCyCyyxdeyyyPdx21121;1y已知的非零解为)1(0)()(yxQyxPy则利用公式)(刘维尔公式(~))(7.7程常系数齐次线性微分方P338,)()(),()(0)()(时常数常数中当qxQpxPyxQyxPy称0yqypy.~为二阶.,21即可无关解由齐次解结构定理，找yy则是解猜观察法,rxey0)()()(rxrxrxeqepe00))((22qprrqprrerx是如由此可知r:,02的根qprr.0的解是则yqypyeyrx为称02qprr.0的特征方程qyypy）（)(翻页?)(是复数也对吗问r)!(也对)(7.7~程常系数齐次线性微分方,)(,时常数当qp称0yqypy.~为二阶是如推理可知r:,02的根qprr.0的解是则yqypyeyrx为称02qprr.0的特征方程qyypy）（:)341(P应背结论212,0rrqprr的两根为当的通解为则0qyypy21)1(rr俩不等实根21)2(rr俩相等实根xrxrececy2121xrxrxececy1121)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21.//12112常数及）（由）（证xrxreeyy是）（xrey112设由常数变易法的解,,0qyypy.01的解也是qyypyueyxr)(翻页212,0rrqprr的两根为当的通解为则0qyypy21)1(rr俩不等实根21)2(rr俩相等实根xrxrececy2121xrxrxececy1121)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21.//12112常及）（由）（证xrxreeyy是）（xrey112设由常数变易法的解,,0qyypy.01的解也是qyypyueyxr]2)[(0)()()(111vuvuvuuvuequepuexrxrxr故021111111211xrxrxrxrxrxrqueepureupeurerueu0)2()(1111121xrxrxreupreuqprrue020121121prprrqprr，且由韦达定理21001CxCuueuxrxu取./,12211常数且也是解xyyyxeuyyxr212,0rrqprr的两根为当的通解为则0qyypy21)1(rr俩不等实根21)2(rr俩相等实根xrxrececy2121xrxrxececy1121)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21.//12112常数及）（由）（证xrxreeyy,211xrey）（./,1221常数是解xyyxeyxr:3欧拉公式）（),sin(cosyiyeeeexiyxiyx,)sin(cos)(1是解xixeeeeyxxixxi也是解；)sin(cos)(2xixeeyxxi)1,,(iRyx),(cos2321实是解xeyyyx),(sin2421实是解xeyiyyx.43常数又yy.044的通解求方程yyy解特征方程0442rr221rr故所求通解为y例特征根.2221xxexCeC212,0rrqprr的两根为当的通解为则0qyypy21)1(rr俩不等实根21)2(rr俩相等实根xrxrececy2121xrxrxececy1121)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21.0223的通解求方程yyy解特征方程02232rr故所求通解为y例特征根).35sin()35cos(312311xeCxeCxxaacbbr24221，322342223531)1(3531ii212,0rrqprr的两根为当的通解为则0qyypy21)1(rr俩不等实根21)2(rr俩相等实根xrxrececy2121xrxrxececy1121)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21.~有类似结论阶n如特征方程有根rk重实根)0(ik重共轭重根211121,,,,yxyxxyxykk212,0rrqprr的两根为当的通解为则0qyypy21)1(rr俩不等实根21)2(rr俩相等实根xrxrececy2121xrxrxececy1121)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21)(7.7~程常系数齐次线性微分方有无关解：阶则~nrxkrxrxexxee1,,21sin,cosyxeyxexx.02)2(;033)1(:)2()4(yyyyyyy求通解例)1(解13,2,1rxxxexcxececy2321012)2(24rr0)1(22irir4,32,1,xxcxxcxcxcysincossincos4321013323rrr0)1(3r如特征方程有根rk重实根)0(ik重共轭重根211121,,,,yxyxxyxykk有无关解：阶则~nrxkrxrxexxee1,,21sin,cosyxeyxexx)]([~程常系数齐次线性微分方).5)(1(2),10)(8)(5)(4)(2(1346P作业：(~)8.7)347(分方程阶常系数非齐次线性微二P)([(cos011axaxaxeqyypymmmmx)](sin011bxbxbxmmmm)0(22mmba)([cos*1cbxaxxexymmxk有特解)](sin1fexdxxmm.02重根的是满足：其中kqprrik：也包含了定理))48(348),58(351(PP注意题之右”的的多项式幂和)(),sinxx;0),(,,xem注意无多项式的次数得.0,;0sin,cosmxxx多项式时无无)~(*右边同形与kxy)(证明见书背公式步解题步骤,1:~xex(cos),(三边仅限于“指),(定理形式乘积).2,1,0(~,,2kkik重特征根的是齐次利用算步),,0(*,3要补常数项时项中要补齐多项式的低次检查步my.*.sin,cos*中只有多项式系数待定要同时出现中yxxy,,*~,4相等令对应的多项式的系数代入整理后用中的将步yy.就可求出待定系数21)1(rr俩不等实根xrxrececy2121.0,;0sin,cosmxxx多项式时无无xeyyy234二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为考研数学一,4分.2321xxxeeCeCy解非齐通解=？齐次通解+非齐特解*yyy记为先求齐次通解034yyy0342rr2,1ry.3,1.321xxeCeC再求非齐特解,2msin;cos,,0无,0xx多项式之无i202ik不是特整根0注意题之右”的的多项式幂和)(),sinxx;0),(,,xem注意无多项式的次数得)~(*右边同形与kxy背公式步题步骤解,1:~xex(cos),(三边仅限于“指),(定理形式乘积)()~(*2同形与右边同形与xkkexxy).2,1,0(~,,2kkik重特征根的是利用算步),,0(*,3要补常数项时项中要补齐多项式的低次检查步my.*.sin,cos*中只有多项式系数待定要同时出现中yxxyxxeaexy220)(*同形与xxxxeaeaeae22223)(4)(0)384(2aaaex1a见上xeyyyy2*,*~,4代入整理后用中的将步yy.就可求出待定系数)0()3(21ir，xecxecyxxsincos21.0,;0sin,cosmxxx多项式时无无.sin4的通解求方程xyy例解非齐通解=？齐次通解+非齐特解*yyy记为先求齐次通解0yy012r2,1ri.sincos21xCxC再求非齐特解,1mex;,0无,0xx多项式之无iii10k是单特整根1注意题之右”的的多项式幂和)(),sinxx;0),(,,xem注意无多项式的次数得)~(*右边同形与kxy背公式步题步骤解,1:~xex(cos),(三边仅限于“指),(定理形式乘积)sin4()~(*同形与右边同形与xxxykk).2,1,0(~,,2kkik重特征根的是利用算步),,0(*,3要补常数项时项中要补齐多项式的低次检查步my.*.sin,cos*中只有多项式系数待定要同时出现中yxxy)sin()sin4(*1xaxxxy同形与)cosxbxxbxaxxbxaxsin4)coss