2.1-等式的性质与不等式的性质(答案版)

等式的性质与不等式的性质一1.不等关系：不等关系常用不等式来表示，2.两个实数大小的比较：（1）0baba；（2）0baba；（3）0baba。3.作差比较法步骤：(1)作差;(2)整理;(3)判断符号;(4)下结论。4.重要不等式：一般地，时，等号成立。当且仅当有baabbaRba,2,,22等式的性质与不等式的性质二1.等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2.不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)3.关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，常用的结论：(1)ab，ab0⇒1a1b；等式的性质与不等式的性质知识讲解(2)若ab0，m0，bab＋ma＋m一、选择题1.给出下列命题：其中正确的命题个数是()①ab⇒a2b2；②a2b2⇒ab；③ab⇒ba1；④ab⇒1a1b.A．0B．1C．2D．3解析：选A.由性质7可知，只有当ab0时，a2b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a0且ab时，ba1才成立，故③错误；2.若实数a,b,c满足cba,且ac0,则下列结论中不一定成立的是()A.abacB.c(b-a)0C.ac(a-c)0D.cb2ab2答案:D.解析:因为cba,且ac0,所以c0,a0,所以abac,故结论A成立;又因为b-a0,所以c(b-a)0,故结论B成立;而a-c0,ac0,故ac(a-c)0,故结论C成立;当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb2ab2,故cb2ab2不一定成立.故选D.当a0，b0时，1a＞1b，故④错误．3．已知a0，b0，c0，若ca＋bab＋cbc＋a，则有()A．cabB．bcaC．abcD．cba解析：由ca＋bab＋cbc＋a可得ca＋b＋1ab＋c＋1bc＋a＋1，即a＋b＋ca＋ba＋b＋cb＋ca＋b＋cc＋a.因为a0，b0，c0，所以a＋bb＋cc＋a.由a＋bb＋c，可得ac.由b＋cc＋a，可得ba.于是有cab.同步练习4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋db＋c，a＋cb，则这四个小球由重到轻的排列顺序是()A．dbacB．bcdaC．dbcaD．cadb解析：∵a＋b＝c＋d，a＋db＋c，∴a＋d＋(a＋b)b＋c＋(c＋d)，即ac.∴bd.又a＋cb，∴ab.综上可得，dbac.5.实数zyx,,满足0zyx，0xyz，若zyxT111，则()A．T0B．T0C．T=0D．T≥0解析：因为0zyx且0xyz，不妨设0x，则0,0zy,则zyxT111=xyzxzyzxy=xyzxzyxyzxzzxy2)(因为x0,z0,所以xz0.又-y20,所以-y2+xz0.又xyz0,所以T0.故选B.6.设11ba，则下列不等式恒成立的是（）A．11baB．11baC．22baD．2ba解析：因为11ba，所以21ba当0b时，A,B不成立，当0.9,1.1ba时，C不成立，选D.7.下列不等式中成立的是（）A．若ab，则22acbcB．若ab，则22abC．若0ab，则22aabbD．若ab，则33ab解析：A中，2c0时，22acbc，故A不一定成立；B中，0ab，可得22ab，故B不一定成立；C中，令2,1ab，则224,2,1aabb，显然22aabb，故C不一定成立；由不等式的性质知D正8.若2x且1y,则2242Mxyxy的值与5的大小关系是()A.5MB.5MC.5MD.5M解析：225425Mxyxy2221xy,∵2,1xy,∴220x,210y,因此22210xy.故5M.二、填空题1.对于实数a，b，c，有下列说法：其中正确的是________(填序号)．①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；解析：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac2bc2，知c≠0，故c20，所以ab成立，故②正确．③中，ab，a0⇒a2ab，a＜b，b0⇒abb2，所以a2abb2，故③正确．故填②③.2.已知实数0,0bam，则mb_____ma，bmam_____ba(用，填空).解析：∵0,0bam，∴0ba，∴()mbmamba0，∴mbma．()()()0()()bmbabmbammbaamaaamaam，∴bmbama．故答案为＜；＜．3.若25,310ab，则2ab的范围为_______________答案：18,1解析：依题意可知2026b，由于25a，由不等式的性质可知1821ab.4.已知1260a,1536b,则ab的取值范围为__________.解析：1110153603615bb，而12600a，根据不等式的性质可得11143611126503abba，所以ab的取值范围为431ba.5.若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．答案：27解析：由3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，可知x0，y0，且18≤1xy2≤13，16≤x4y2≤81，得2≤x3y4≤27，故x3y4的最大值是27.6.已知-3ba-1，-2c-1，则(a-b)c2的取值范围为.解析：∵-3ba-1,∴-3b-1,-3a-1,ba,∴1-b3,a-b0,∴-3+1a-b-1+3,即-2a-b2,∴0a-b2.∵-2c-1,∴1c24,∴0×1(a-b)c22×4,∴0(a-b)c28.三、解答题1.若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c2＞eb－d2.．证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1a－c2b－d2，得1a－c2＜1b－d2.又e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.2.已知2a≤5,3≤b10，求a－b，ab的取值范围答案：－8a－b≤2.，15ab≤53.解析：∵3≤b10，∴－10－b≤－3.又2a≤5，∴－8a－b≤2.又110＜1b≤13，∴15ab≤53.3.已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．答案：5≤4a－2b≤10解析：令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.由a＋b＝μ，a－b＝v，解得a＝μ＋v2，b＝μ－v2.因为4a－2b＝4·μ＋v2－2·μ－v2＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，而2≤μ≤4,3≤3v≤6，所以5≤μ＋3v≤10.所以5≤4a－2b≤10.4.若实数nm,满足132321nmnm求nm43的取值范围.解析：令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,则4332yxyx解得5157yx因此3m+4n=57(2m+3n)+51(m-n).由-1≤2m+3n≤2得57≤57(2m+3n)≤514.由-3m-n≤1得-5351(m-n)≤51,所以-57-533m+4n≤514+51,即-23m+4n≤3.5.（2020·全国高一课时练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.答案：aambbm，0ab，0m，证明见解析解析：由题知：原来糖水的浓度为100%ab，加入m克糖后的浓度为100%ambm，0ab，0m.因为这杯糖水变甜了，所以100%100%aambbm，整理得：aambbm，0ab，0m.因为abmaamaambbmbbmbbm，又因为0ab，0m，所以0ab，0mab，0bbm，所以0abmbbm，即证aambbm.