第八章-平面解析几何题目与答案(全八)

第1页共11页第八章平面解析几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.|a|4B.|a|2C．|a|D．－a2解析：由已知焦点到准线的距离为p＝|a|2.答案：B2．过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝()A．6B.2C．2D．不确定解析：由题知b－a5－4＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝(5－4)2＋(b－a)2＝2.答案：B3．已知双曲线x24－y212＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为()A．2B．1C.14D.116解析：依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝12px，故18p＝2，得p＝116.答案：D4．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为()A．1B．5C．42D．3＋22解析：由(x－2)2＋(y－1)2＝13，得圆心(2,1)，∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．∴a＋b＝1.∴1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)＝3＋ba＋2ab≥3＋22，当且仅当ba＝2ab，即a＝2－1，b＝2－2时取等号，∴1a＋2b的最小值为3＋22.答案：D第2页共11页5．若双曲线x2a2－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为()A.255B.32C.233D．2解析：由a2＋1＝4，∴a＝3，∴e＝23＝233.答案：C6．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)解析：如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x＞3)．答案：C7．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝5e5x(e为双曲线离心率)，则有()A．b＝2aB．b＝5aC．a＝2bD．a＝5b解析：由已知ba＝55e，∴ba＝55×ca，∴c＝5b，又a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝5b2，∴a＝2b.答案：C8．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C．－1516D．－1716解析：准线方程为y＝116，由定义知116－yM＝1⇒yM＝－1516.答案：C第3页共11页9．已知点A、B是双曲线x2－y22＝1上的两点，O为坐标原点，且满足OA·OB＝0，则点O到直线AB的距离等于()A.2B.3C．2D．22解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA·OB＝0⇒OA⊥OB，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点B为直线y＝－x与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到AB的距离就为点A或点B的横坐标的值，由x2－y22＝1y＝x⇒x＝2.答案：A10．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝()A.3B．2C．3D．6解析：双曲线的渐近线方程为y＝±12x即x±2y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝|3|(2)2＋1＝3.答案：A11．(2009·四川高考)已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则1PF·2PF＝()A．－12B．－2C．0D．4解析：由渐近线方程y＝x得b＝2，点P(3，y0)代入x22－y2b2＝1中得y0＝±1.不妨设P(3，1)，∵F1(2,0)，F2(－2,0)，∴1PF·2PF＝(2－3，－1)·(－2－3，－1)＝3－4＋1＝0.答案：C12．(2009·天津高考)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF＝()A.45B.23C.47D.12第4页共11页解析：如图过A、B作准线l：x=-12的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB的距离为定值．∴S△BCFS△ACF＝|BC||CA|.又∵△B1BC∽△A1AC.∴|BC||CA|＝|BB1||AA1|，由拋物线定义|BB1||AA1|＝|BF||AF|＝2|AF|.由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝32，yB＝－3，∴AB：y－0＝33－32(x－3)．把x＝y22代入上式，求得yA＝2，xA＝2，∴|AF|＝|AA1|＝52.故S△BCFS△ACF＝|BF||AF|＝252＝45.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为________．解析：(x0－a)2＋(y0－b)2可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离．而点(x0，y0)在直线ax＋by＝0上，所以(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距离|a·a＋b·b|a2＋b2＝a2＋b2.答案：a2＋b214．(2009·福建高考)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：由焦点弦|AB|＝2psin2α得|AB|＝2psin245°，∴2p＝|AB|×12，∴p＝2.答案：215．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0),2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一第5页共11页点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解．答案：x25＋y24＝116．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程为______________．解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，|BC|＝23p，BA·BC＝4p·23p·cos30°＝48，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a＝－34.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得CD＝|4＋2a|a2＋1，CD2＋DA2＝AC2＝22，DA＝12AB＝2.解得a＝－7，或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解：法一：设点M的坐标为(x，y)，第6页共11页∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.而kPA＝4－02－2x，kPB＝4－2y2－0，(x≠1)，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)．整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM，∵l1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.而|PM|=22(2)(4)xy，|AB|=22(2)(2)xy,∴22222(2)(4)44xyxy.化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程．法三：设M的坐标为(x，y)，由l1⊥l2，BO⊥OA，知O、A、P、B四点共圆，∴|MO|=|MP|，即点M是线段OP的垂直平分线上的点．∵kOP=4020=2，线段OP的中点为(1,2)，∴y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0即为所求．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线．因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x2＝8y.第7页共11页(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1·14x2＝116x1·x2＝－1.所以AQ⊥BQ.20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．(1)求OA·OB的值；(2)设AF＝λFB，当△OAB的面积S∈[2，5]时，求λ的取值范围．解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，将其与C的方程联立，消去x可得y2－4my－4＝0.设A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y10y2)，则y1y2＝－4.因为y21＝4x1，y22＝4x2，所以x1x2＝116y21y22＝1，故OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3.(2)因为AF＝λFB，所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，即1－x1＝λx2－λ，①－y1＝λy2，②又y21＝4x1，③y22＝4x2，④由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，将其代入①，注意到λ0，解得x2＝1λ.从而可得y2＝－2λ，y1＝2λ，故△OAB的面积S＝12|OF|·|y1－y2|＝λ＋1λ，第8页共11页因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52.20．[文](本小题满分12分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝203，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(ab0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．解：∵e＝ca＝a2－b2a2＝22，∴a2＝2b2.因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点，设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则(2－m)2＋2(1－n)2＝2b2，(2＋m)2＋2(1＋n)2＝2b2，|AB|＝22