河北省廊坊市2016届高三上期末数学试卷(理科)含答案解析

第1页（共26页）2015-2016学年河北省廊坊市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．复数等于（）A．﹣2+2iB．1+iC．﹣1+iD．2﹣2i3．已知点A（1，0），B（6，2）和向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知α的终边过点P（2，﹣1），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．5．如图程序的功能是（）A．计算1+3+5+…+2016B．计算1×3×5×…×2016C．求方程1×3×5×…×i=2016中的i值D．求满足1×3×5×…×i＞2016中的最小整数i6．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0B．1C．2D．37．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则sinθ的最大值为（）A．B．C．D．第2页（共26页）8．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28B．32C．D．249．如图所示，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，令h（x）=xf（x），h′（x）是h（x）的导函数，则h′（1）的值是（）A．2B．1C．﹣1D．10．用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，现将半径为的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若=3，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．12．已知函数f（x）=，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是（）第3页（共26页）A．（0，）B．（，2]C．[0，）D．（，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．现有10张奖券，其中4张有奖，若有4人购买，每人一张，至少有一人中奖的概率是______．14．已知数列{an}中a1=1，nan=（n+1）an+1，则a2016=______．15．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则ab的取值范围是______．16．函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=3，a3=a22﹣27．（1）求{an}的通项公式；（2）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．18．近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个重要指标．各省、市、县均要进行实时监测，某市2015年11月的PM2.5浓度统计如图所示．日期PM2.5浓度日期PM2.5浓度日期PM2.5浓度11﹣113711﹣1114411﹣214011﹣214311﹣1216611﹣224211﹣314511﹣1319711﹣233511﹣419311﹣1419411﹣245311﹣513311﹣1521911﹣258811﹣62211﹣164111﹣262911﹣72211﹣179011﹣2719911﹣85711﹣184611﹣2828711﹣911111﹣198011﹣2929111﹣1013411﹣206711﹣30452（1）请完成频率分布表；空气质量指数类别PM2.524小时浓度均值频数频率优0﹣354良36﹣757轻度污染76﹣1154中度污染116﹣1506重度污染151﹣250严重污染251﹣500合计/301第4页（共26页）（2）专家建议，空气质量为优、良、轻度污染时可正常进行户外活动，中度污染及以上时，取消一切户外活动，在2015年11月份，该市某学校进行了连续两天的户外拔河比赛，求拔河比赛能正常进行的概率．（3）PM2.5浓度在75以上，空气质量为超标，陶先生在2015年11月份期间曾有两天经过该市，记ξ表示两天中PM2.5检测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ABC=∠CAD=90°，点E在棱PB上，且PE=2EB，PA=AB=BC．（1）求证：PD∥平面AEC；（2）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．20．已知点R是圆心为Q的圆（x+）2+y2=16上的一个动点，N（，0）为定点，线段RN的中垂线与直线QR交于点T，设T点的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过圆x2+y2=1上的动点P作圆x2+y2=1的切线l，与曲线C交于不同两点A，B，用几何画板软件可画出线段AB的中点M的轨迹是如图所示的漂亮的曲线，求该曲线的方程．21．m∈R，函数f（x）=mx﹣lnx+1．（1）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（2）将函数f（x）的图象向下平移1个单位后得到g（x）的图象，且x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数g（x）的两个不同的零点，求m的值并证明：x2＞e．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.【选修4-1：几何证明选讲】22．已知△ABC中，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，且AD的延长线平分∠CDE．（1）求证：AB=AC；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为4+2，求△ABC外接圆的面积．第5页（共26页）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ=2sinθ，过点P（0，1）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与轨迹C交于M，N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|MN|．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=．（1）当m=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围．第6页（共26页）2015-2016学年河北省廊坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的全集，然后求解交集的补集．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，全集U=A∪B={1，2，3，4}，集合∁U（A∩B）={1，4}．元素个数为：2．故选：B．2．复数等于（）A．﹣2+2iB．1+iC．﹣1+iD．2﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得z的值．【解答】解：==﹣1+i，故选：C．3．已知点A（1，0），B（6，2）和向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出=（5，2），再由向量平行的性质能求出实数λ的值．【解答】解：∵点A（1，0），B（6，2），∴=（5，2），∵向量=（2，λ），∥，∴，解得．故选：A．4．已知α的终边过点P（2，﹣1），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．第7页（共26页）【分析】由题意可得x=2，y=﹣1，r=，再根据cosα=计算得到结果．【解答】解：由题意可得x=2，y=﹣1，r=，∴cosα===，故选C．5．如图程序的功能是（）A．计算1+3+5+…+2016B．计算1×3×5×…×2016C．求方程1×3×5×…×i=2016中的i值D．求满足1×3×5×…×i＞2016中的最小整数i【考点】伪代码．【分析】逐步分析程序中的各语句的功能，可知程序的功能是求满足1×3×5×…×i＞2016中的最小整数i．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1满足条件S≤2016，i=3，S=1×3满足条件S≤2016，i=5，S=1×3×5…满足条件S≤2016，i=n，S=1×3×5…×n，满足条件S＞2016，退出循环，输出此时n的值，故程序的功能是求满足1×3×5×…×i＞2016中的最小整数i，故选：D．6．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0B．1C．2D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用函数的奇偶性判断①的正误；利用三角形中正弦定理判断②的正误，利用充要条件判断③的正误，命题的否定判断④的正误．第8页（共26页）【解答】解：对于①，若f（x）=+a为奇函数，则f（0）=0，解得a=﹣，所以①不正确；对于②，“在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，则A＞B”，的逆命题是真命题；所以②不正确；对于③，“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=±，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，所以③正确．对于④，命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．满足命题的否定形式，所以④正确．故选：C．7．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则sinθ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使sinθ最大，则由，解得，即A（1，2），由，得，即B（2，1），∴此时夹角θ最大，则=（1，2），=（2，1），则cosθ==，∴sinθ=．故选：D．第9页（共26页）8．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28B．32C．D．24【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到此几何体由三部分组成，上半部分是一个四棱台，下半部分是两个平行六面体，其中四棱台的中间部分是一个棱长为2的正方体，两边是两个全等的直三棱柱，两个平行六面体的底是边长为2的正方形，高为2，由此能求出此几何体的体积．【解答】解：由三视图得到此几何体由三部分组成，上半部分是一个四棱台，下半部分是两个平行六面体，其中四棱台的中间部分是一个棱长为2的正方体，两边是两个全等的直三棱柱，两个平行六面体的底是边长为2的正方形，高为2，这两个直三棱柱的底面三角形的直角边分别为1，2，高为2，∴此几何体的体积V=3×23+2×（2×1×2）=28．故选：A．9．如图所示，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，令h（x）=xf（x），h′（x）是h（x）的导函数，则h′（1）的值是（）第10页（共26页）A．2B．1C．﹣1D．【考点】导数的几何意义．【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用导数的运算法则进行求解即可得到结论．【解答】解：由图象可知直线的切线经过点（1，2），则k+3=2，得k=﹣1，即f′（1）=﹣1，且f（1）=2，∵h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+xf′（x），则h′（1）=f（1）+f′（1）=2﹣1=1，故选：B．10．用一个