20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测（九） 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 W

课时跟踪检测（九）曲边梯形的面积汽车行驶的路程层级一学业水平达标1．和式i＝15(xi＋1)可表示为()A．(x1＋1)＋(x5＋1)B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1)解析：选Ci＝15(xi＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5.2．在求由x＝a，x＝b(ab)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选An个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确解析：选C由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.4．在求由函数y＝1x与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为()A.i－1n，inB.n＋i－1n，n＋inC．[i－1，i]D.in，i＋1n解析：选B把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i个小区间的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B.5．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小解析：选D当n很大时，区间i－1n，in的长度1n越来越小，f(x)的值变化很小，故选D.6.求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．解析：S＝15×1102＋3102＋5102＋7102＋9102＝0.33.答案：0.337．由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积为________________．解析：将区间[0,1]n等分，每个区间长度为1n，区间右端点函数值y＝in2＋2·in＝i2n2＋2in.作和Sn＝i＝1ni2n2＋2in1n＝i＝1ni2n3＋2in2＝1n3i＝1ni2＋2n2i＝1ni＝1n3×16n(n＋1)(2n＋1)＋2n2×nn＋12＝n＋12n＋16n2＋n＋1n＝8n2＋9n＋16n2，∴所求面积S＝8n2＋9n＋16n2＝43＋32n＋16n2＝43.答案：438．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动，在第1s到第2s间经过的路程是________．解析：将[1,2]n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt＝1n，v(ξi)＝v1＋i－1n＝31＋i－1n＋2＝3n(i－1)＋5.所以sn＝i＝1n3ni－1＋5·1n＝3n[0＋1＋2＋…＋n－1]＋5n·1n＝3n2·nn－12＋5＝321－1n＋5，所以s＝sn＝32＋5＝6.5(m)．答案：6.5m9.求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积．解：如图，∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求图形的面积应为y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围成的图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2，y＝4，x≥0，得交点为(2,4)．先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的图形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n，取ξi＝2i－1n(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替、求和Sn＝i＝1n2i－1n2·2n＝8n3[02＋12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝831－1n1－12n(3)取极限S＝831－1n1－12n＝83.∴S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323.即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积为323.10．汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)．第i个时间区间的路程的近似值为Δξi≈Δξi′＝v(t)·1n＝v1＋i－1n·1n＝3n＋2i－1n2＋i－12n3，于是sn＝i＝1nΔξi′＝i＝1n3n＋2i－1n2＋i－12n3＝n·3n＋2n2·[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋1n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝3＋2n2·n－1·n2＋1n3·n－1n2n－16＝3＋1－1n＋131－1n1－12n.所以s＝sn＝3＋1－1n＋131－1n1－12n＝133.故这段时间行驶的路程为133km.层级二应试能力达标1．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝i＝1nf(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么Sn的大小()A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关B．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n有关，与ξi的取法无关C．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n，ξi的取法都有关D．与f(x)和区间[a，b]的ξi的取法有关，与分点的个数n无关解析：选C用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝i＝1nf(ξi)·Δx.若对和式求极限，则可以得到函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．2．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.19B.125C.127D.130解析：选A将区间[0,1]三等分为0，13，13，23，23，1，各小矩形的面积和为s1＝03·13＋133·13＋233·13＝19.3．limn→∞i＝1n15in·5n的含义可以是()A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝5x围成的图形的面积解析：选C将区间[0,5]n等分，则每一区间的长度为5n，各区间右端点对应函数值为y＝15in，因此i＝1n15in·5n可以表示由直线x＝0，x＝5，y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似值．4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C将区间[0，a]分为等长的n个小区间，第i个区间记为i－1na，ian(i＝1,2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝an，所以v(ti)＝ian2，sn＝i＝1nian2·an＝a3n3(1＋22＋…＋n2)＝a3nn＋12n＋16n3＝a361＋1n2＋1n，于是s＝sn＝a361＋1n2＋1n＝a33＝9，得a＝3.故选C.5．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2.…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.答案：556.如图，曲线C：y＝2x(0≤x≤2)两端分别为M，N，且NA⊥x轴于点A，把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为Sn，则[(2n－3)(n4－1)Sn]＝__________.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n，则Sn＝2n(1＋22n＋24n＋…＋22n－2n)＝2n·1－22nn1－22n＝2n·－31－n4.所以limn→∞[(2n－3)(n4－1)Sn]＝2n－3n4－1·2n·－31－n4＝12.答案：127．汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.解：(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间0，1n，1n，2n，…，i－1n，in，…，n－1n，1，每个小区间的长度为Δt＝in－i－1n＝1n.(2)近似代替在区间i－1n，in(i＝1,2，…，n)上，汽车近似地看作以时刻i－1n处的速度vi－1n＝i－1n2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为i－1n2·1n.(3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为sn＝02×1n＋1n2×1n＋2n2×1n＋…＋n－1n2×1n＝1n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＝1n3×n－1n2n－16＝131－1n1－12n.(4)取极限汽车行驶的路程s＝sn＝131－1n1－12n＝13.8．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．解：将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.(1)分割在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：0，bn，bn，2bn…，n－1bn，b记第i个区间为i－1bn，i·bn(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝i·bn－i－1bn＝bn.把在分段0，bn，bn，2bn，…，n－1bn，b上所做的功分别记作：ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈Fi－1bn·Δx＝k·i－1bn·bn(i＝1,2，…，n)．(3)求和Wn＝i＝1nΔWi≈i＝1nk·i－1bn·bn＝kb2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝kb2n2×nn－12＝kb221－1n.从而得到W的近似值W≈Wn＝kb221－1n.(4)取极限W＝Wn＝i＝1nΔWi＝kb221－1n＝kb22.所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为kb22.