2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1阶段质量检测：（三） Word版含解析

阶段质量检测（三）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f(x)＝lnxx2，则f′(e)＝()A.1e3B.1e2C．－1e2D．－1e32．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()A．0B．2C．1D．－13．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－24．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x0时，f′(x)0，g′(x)0，则x0时()A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)05．函数f(x)＝lnxx(0＜x＜10)()A．在(0，10)上是增函数B．在(0，10)上是减函数C．在(0，e)上是增函数，在(e，10)上是减函数D．在(0，e)上是减函数，在(e，10)上是增函数6．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是－∞，－33，33，＋∞，则a的取值范围是()A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜17．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C．(0，1)D．(0，＋∞)8．方程2x3－6x2＋7＝0在(0，2)内根的个数为()A．0B．1C．2D．39．函数y＝12x－2sinx的图象大致是()10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)f′(x)，则当ab时，下列不等式成立的是()A．eaf(a)ebf(b)B．ebf(a)eaf(b)C．ebf(b)eaf(a)D．eaf(b)ebf(a)11．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)12．若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)k1，则下列结论中一定错误的是()A．f1k1kB．f1k1k－1C．f1k－11k－1D．f1k－1kk－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．14．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．15．已知a0，函数f(x)＝ax3＋12alnx，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为________．16．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．18．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.20．已知函数f(x)＝lnxx.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若y＝xf(x)＋1x的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．21．已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；(2)设g(x)＝lnx－a，若g(x)x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．22．已知函数f(x)＝ln1＋x1－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0，1)时，f(x)＞2x＋x33；(3)设实数k使得f(x)＞kx＋x33对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值．1.解析：选D∵f′(x)＝x2x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，∴f′(e)＝1－2lnee3＝－1e3.2.解析：选A∵f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，∴f′(1)＝0.3.解析：选A∵y′＝x′（x＋2）－x（x＋2）′（x＋2）2＝2（x＋2）2，∴k＝y′|x＝－1＝2（－1＋2）2＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4.解析：选Bf(x)为奇函数且x0时单调递增，所以x0时单调递增，f′(x)0;g(x)为偶函数且x0时单调递增，所以x0时单调递减，g′(x)0.5.解析：选C由f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0得e＜x＜10，故选C.6.解析：选A依题意得y′＝a(3x2－1)＞0的解集为－∞，－33，33，＋∞，∴a＞0.7.解析：选B由题知，x0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0.设函数y＝lnx＋1上任一点(x0，1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝1x0，当l过坐标原点时，1x0＝1＋lnx0x0⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝12，结合图象知0a12.8.解析：选B设f(x)＝2x3－6x2＋7，则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．∵x∈(0，2)，∴f′(x)0.∴f(x)在(0，2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1，∴f(x)在(0，2)上有且只有一个零点，即方程2x3－6x2＋7＝0在(0，2)内只有一个根．9.解析：选C因为y′＝12－2cosx，所以令y′＝12－2cosx＞0，得cosx＜14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cosx＜0，得cosx＞14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项C正确．10.解析：选D∵f（x）ex′＝exf′（x）－exf（x）（ex）2＝ex[f′（x）－f（x）]（ex）20，∴y＝f（x）ex单调递减，又ab，∴f（a）eaf（b）eb，∴eaf(b)ebf(a)．11.解析：选A当x0时，令F(x)＝f（x）x，则F′(x)＝xf′（x）－f（x）x20，∴当x0时，F(x)＝f（x）x为减函数．∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.在区间(0，1)上，F(x)0；在(1，＋∞)上，F(x)0.即当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)0；当x∈(－1，0)时，f(x)0.综上可知，f(x)0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．12.解析：选C构造函数F(x)＝f(x)－kx，则F′(x)＝f′(x)－k0，∴函数F(x)在R上为单调递增函数．∵1k－10，∴F1k－1F(0)．∵F(0)＝f(0)＝－1，∴f1k－1－kk－1－1，即f1k－1kk－1－1＝1k－1，∴f1k－11k－1，故C错误．13.解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝12.答案：1214.解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为－1，－1e，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－1e.答案：y＝－1e15.解析：f′(x)＝3ax2＋12ax，则f′(1)＝3a＋12a.∵a0，∴f′(1)＝－（－3a）＋21－a≤－2（－3a）×12－a＝－12.当－3a＝12－a，即a＝－2时，取“＝”．答案：－216.解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0⇒a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11.当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.答案：417.解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋1ax＋b≥2＋b，当且仅当ax＝1等号成立，即当x＝1a时，f(x)取最小值为2＋b.法二：f(x)的导数f′(x)＝a－1ax2＝a2x2－1ax2，当x1a时，f′(x)0，f(x)在1a，＋∞上单调递增；当0x1a时，f′(x)0，f(x)在0，1a上单调递减．所以当x＝1a时，f(x)取最小值为2＋b.(2)由题设知，f′(x)＝a－1ax2，f′(1)＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.18.解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0，注意到ex0，所以－x2＋20，解得－2x2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1，1)上恒成立，也就是a≥x2＋2xx＋1＝x＋1－1x＋1在(－1，1)上恒成立．设y＝x＋1－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）20，即y＝x＋1－1x＋1在(－1，1)上单调递增，则y1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a的取值范围为32，＋∞.19.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax.当a≤0时，f′(x)0，f′(x)没有零点；当a0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－ax，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)0，当b满足0ba4且b14时，f′(b)0，故当a0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋aln2a≥2a＋aln2a.故当a0时，f(x)≥2a＋aln2a.20.解：(1)f′(x)＝1－lnxx2.当0xe时，f′(x)0，f(x)为增函数；当xe时，f′(x)0，f(x)为减函数．(2)依题意得，不等式alnx＋1x对于x0恒成立．令g(x)＝lnx＋1x，则g′(x)＝1x－1x2＝1x1－1x.当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝1x1－1x0，则g(x)是(1，＋∞)上的增函数；当x∈(0，1)时，g′(x)0，则g(x)是(0，1)上的减函数．所以g(x)的最小值是g(1)＝1，从而a的取值范围是(－∞，1)．21.解：(1)f′(x)＝1x＋ax2＝x