2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.3.1 Word版含解析

第一章1.31.3.1A级基础巩固一、选择题1．在(x－12x)10的二项展开式中，x4的系数为导学号51124222(C)A．－120B．120C．－15D．15[解析]Tr＋1＝Cr10x10－r(－12x)r＝(－12)r·Cr10x10－2r令10－2r＝4，则r＝3.∴x4的系数为(－12)3C310＝－15.2．(2015·湖北理，3)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为导学号51124223(A)A．29B．210C．211D．212[解析]由题意可得，二项式的展开式满足Tr＋1＝Crnxr，且有C3n＝C7n，因此n＝10.令x＝1，则(1＋x)n＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1，则(1＋x)n＝0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为12(210＋0)＝29.故本题正确答案为A．3．若二项式(x－2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为导学号51124224(C)A．6B．10C．12D．15[解析]∵T5＝C4n(x)n－4·(－2x)4＝24·C4nxn－122是常数项，∴n－122＝0，∴n＝12.4．(湖南高考)(12x－2y)5的展开式中x2y3的系数是导学号51124225(A)A．－20B．－5C．5D．20[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(12x)5－r·(－2y)r＝(12)5－r·(－2)rCr5x5－ryr.当r＝3时为T4＝(12)2(－2)3C35x2y3＝－20x2y3，故选A．5．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝导学号51124226(B)A．6B．7C．8D．9[解析]二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Crn1n－r·(3x)r＝Crn·3r·xr.依题意得C5n·35＝C6n·36，即nn－1n－2n－3n－45！＝3×nn－1n－2n－3n－4n－56！(n≥6)，得n＝7.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是导学号51124227(D)A．－297B．－252C．297D．207[解析]x5系数应是(1＋x)10中含x5项的系数减去含x2项的系数．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.二、填空题7．(2016·山东理，12)若(ax2＋1x)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝__－2__.导学号51124228[解析](ax2＋1x)5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r·x－r2＝Cr5a5－r·x10－5r2，令10－52r＝5，得r＝2，所以C25a3＝－80，解得a＝－2.8．设a＝0πsinxdx，则二项式(ax－1x)6的展开式中的常数项等于__－160__.导学号51124229[解析]a＝0πsinxdx＝(－cosx)|π0＝2，二项式(2x－1x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·(－1x)r＝(－1)r·26－r·Cr6x3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C36＝－160.9．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于__4__.导学号51124230[解析]令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.三、解答题10．在2x2－13x8的展开式中，求：导学号51124231(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．[解析](1)∵T5＝C48·(2x2)8－4·13x4＝C48·24·x203，∴第5项的二项式系数是C48＝70，第5项的系数是C48·24＝1120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C68·(2x2)8－6·－13x6＝112x2.B级素养提升一、选择题1．(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是导学号51124232(C)A．－4B．－2C．2D．4[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是导学号51124233(A)A．112＜x＜15B．16＜x＜15C．112＜x＜23D．16＜x＜25[解析]由T2T1，T2T3，得C162x1，C162xC262x2.∴112＜x＜15.二、填空题3．(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为__－5__.导学号51124234[解析](1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.4．若x0，设(x2＋1x)5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为522.导学号51124235[解析]T3＝C25·(x2)3(1x)2＝54x，T4＝C35·(x2)2·(1x)3＝52x，∴M＋N＝5x4＋52x≥2258＝522.三、解答题5．(2016·湛江高二检测)在二项式(3x－123x)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.导学号51124236(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项．[解析](1)C0n＋14C2n＝2·12C1n，∴n2－9n＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8.(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C48(3x)4·(－123x)4＝358.(3)研究系数绝对值即可，Cr812r≥Cr＋1812r＋1，Cr812r≥Cr－1812r－1，解得2≤r≤3，∵r∈N，∴r＝2或3.∵r＝3时，系数为负．∴系数最大的项为T3＝7x43.6．(2016·金华高二检测)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，导学号51124237(1)试求f(x)的展开式中的x2的系数的最小值；(2)对于使f(x)的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(3)利用(1)中m与n的值，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)[解析](1)根据题意得：C1m＋C1n＝7，即m＋n＝7①，f(x)的展开式中的x2的系数为C2m＋C2n＝mm－12＋nn－12＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝(m－72)2＋354，故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.(2)当m＝3、n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4、n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5.(3)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003＝2.02.C级能力拔高求(x2＋1x＋2)5的展开式中整理后的常数项.导学号51124238[解析](x2＋1x＋2)5不是一个二项式，但可以通过组合某些项变成二项式，组合的方法有：(1)(x2＋1x＋2)5＝[(x2＋1x)＋2]5，(2)(x2＋1x＋2)5＝(x2＋22x＋22x)5＝x＋2102x5.解法一：(x2＋1x＋2)5＝[(x2＋1x)＋2]5，通项公式Tk＋1＝Ck5·2k2·(x2＋1x)5－k(k＝0,1,2，…，5)，(x2＋1x)5－k的通项公式为Tr＋1＝Cr5－k·x－r·x5－k－r·2－(5－k－r)＝Cr5－k·x5－2r－k·2k＋r－5(r＝0,1，…，5－k)，令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0.当k＝1，r＝2时，得C15·C24·2·2－2＝1522；当k＝3，r＝1时，得C35·C12·22·2－1＝202；当k＝5，r＝0时，得C55·42＝42.综上，(x2＋1x＋2)5的展开式中整理后的常数项为1522＋202＋42＝6322.解法二：(x2＋1x＋2)5＝(x2＋22x＋22x)5＝[x＋22]52x5＝x＋2102x5，在二项式(x＋2)10中，Tr＋1＝Cr10·x10－r·(2)r(r＝0,1,2，…，10)，要得到常数项需10－r＝5，即r＝5，所以常数项为C510·2525＝6322.