2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第2章 推理与证明2.1.1 Word版含解析

第二章2.12.1.1A级基础巩固一、选择题1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是导学号84624475(D)①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．2．(2016·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110，则数列{an}的一个通项公式为an＝导学号84624476(B)A．2n＋12B．2nn＋1C．22n－1D．22n－13．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到导学号84624477(D)A．空间中平行于同一直线的两条直线平行B．空间中平行于同一平面的两条直线平行C．空间中平行于同一直线的两个平面平行D．空间中平行于同一平面的两个平面平行4．(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是导学号84624478(A)A．白色B．黑色C．白色的可能性较大D．黑色的可能性较大5．(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是导学号84624479(C)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”6．(2017·长春三模)设n∈N＋，则＝导学号84624480(A)A．B．C．D．[解析]＝102n－19－210n－19＝10n－129＝10n－13＝个．故选A．二、填空题7．观察下列等式：导学号8462448112＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n2＋n2.[解析]注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12＝n2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1n2＋n2.8．观察下列等式：导学号84624482(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；……照此规律，第n个等式可为__(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)__．[解析]观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．三、解答题9．(2016·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系.导学号84624483[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC．证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE，AO⊥BC．∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AE，BC⊥DE.∴S△ABC＝12BC·AE，S△BOC＝12BC·OE，S△BCD＝12BC·DE.在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S2△ABC＝S△BOC·S△BCD．10．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.导学号84624484[解析]等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝sin2α＋1＋cos60°＋2a2＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝12＋sin2α＋cos60°＋2α2＋34sin2α－12sin2α＝12＋sin2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin2α＝12＋sin2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin2α＝12＋12sin2α＋14(1－2sin2α)＝34.B级素养提升一、选择题1．观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120162导学号84624485(C)A．40292016B．40302016C．40312016D．40322016[解析]本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋122n＋1n＋1，所以当n＝2015时不等式为：1＋122＋132＋…＋12016240312016.2．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有导学号84624486(C)A．(1)B．(1)(2)C．(1)(2)(3)D．都不对[解析]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．二、填空题3．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝__πab__.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为x1a2·x＋y1b2·y＝1.导学号84624487[解析]当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得x0r2·x＋y0r2·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为x1a2·x＋y1b2·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．4．(2016·山东文，12)观察下列等式：导学号84624488(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；(sinπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋…＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋…＋(sin8π9)－2＝43×4×5；……照此规律，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋…＋(sin2nπ2n＋1)－2＝43n(n＋1).[解析]根据已知，归纳可得结果为43n(n＋1)．三、解答题5．我们知道：导学号8462448912＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．[解析]我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1n3＝2n3＋3n2＋n6＝nn＋12n＋16.6．(2016·隆化县高二检测)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.导学号84624490[解析]如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.∴1AD2＝1AB2＋1AC2.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD．则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．C级能力拔高(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1，写出具有类似的性质，并加以证明.导学号84624491[解析]类似的性质为：若M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：设M(m，n)，P(x，y)，则N(－m，－n)，因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2.同理，y2＝b2a2x2－b2.则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．