荆州中学2016-2017学年高二数学(理)上学期期末试卷及答案

荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某单位员工按年龄分为A、B、C三个等级，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从C等级组中应抽取的样本数为A．2B．4C．8D．102．下列有关命题的说法错误的是A．若“pq”为假命题，则,pq均为假命题B．“1x”是“1x”的充分不必要条件C．“1sin2x”的必要不充分条件是“6x”D．若命题p：200,0xRx，则命题p：2,0xRx3．若向量1,2,0a，2,0,1b，则A．cos,120abB．abC．ab∥D．ab4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为A．56分B．57分C．58分D．59分5.已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数4,6.5xy，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．21.5yxB．0.83.3yxC．214.5yxD．0.69.1yx6．执行如图所示的程序框图,输出的T等于A．10B．15C．20D．30D1ABCDA1C1B1P7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为A．30B．48C．66D．788.函数5()2fxxx图象上的动点P到直线2yx的距离为1d，点P到y轴的距离为2d，则12ddA．5B.5C．55D.不确定的正数9.如果实数,xy满足条件1022010xyxyx，则2123zxy的最大值为（）A．1B．34C．0D．4710.椭圆2211612xy的长轴为1A2A，短轴为1B2B，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得1A点在平面1B2A2B上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为A.75°B.60°C.45°D.30°11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线12．过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点F作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别交于A、B两点，若||2ABa，则双曲线离心率e的值所在区间是A．(1,2)B.(2,3)C．(3,2)D.(2,5)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m＝________.14．下列各数)6(210、)4(1000、)2(111111中最小的数是___________.15．已知函数()1fxkx，其中实数k随机选自区间[2,1]，对[0,1],()0xfx的概率是_________.16．已知ABC的三边长分别为5AB，4BC，3AC，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：[来源:学科网ZXXK]①若PM平面ABC，且M是AB边中点，则有PCPBPA；②若5PC，PC平面ABC，则PCM面积的最小值为215；③若5PB，PB平面ABC，则三棱锥ABCP的外接球体积为62125；④若5PC，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则三棱锥ABCP的体积为232；其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设a是实数，有下列两个命题：:p空间两点(2,2,7)Aa与(1,4,2)Baa的距离||310AB.:q抛物线24yx上的点2(,)4aMa到其焦点F的距离||2MF.已知“p”和“pq”都为假命题，求a的取值范围.18．（本小题满分12分）已知圆C过点1,4，3,2，且圆心在直线30xy上．（1）求圆C的方程；（2）若点,xy在圆C上，求zxy的最大值．19.（本题满分12分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成B组，[90，100]分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率．20．（本题满分12分）在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=2，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且13SESD，如图2．(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)求二面角E-AC-D的正切值；(3)在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知直线10xy经过椭圆S：22221(0)xyabab的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，,MN分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,PA两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意0k，求证：PAPB．22．（本题满分10分）已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C方程为2sin；2C的参数方程为11232xtyt（t为参数）．[来源:学+科+网Z+X+X+K]（Ⅰ）写出曲线1C的直角坐标方程和2C的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线1C上的任意一点，求点P到曲线2C距离的取值范围．荆州中学2016～2017学年度上学期[来源:Z§xx§k.Com]期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）命题人：冯钢审题人：冯启安参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ACDBCCDBBBDC12【解析】选C设F为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点A的纵坐标为a，则由22221yaxyab得(,)acAab，又∵直线AF的方程为()byxca，∴()bacacab，即2aacbc，又∵22bca，∴22222()()aaccac，两边同除以4a，得222(1)(1)eee，即422210eee，令42()221fxxxx，∵(3)962312(13)0f，(2)1684130f，∴双曲线离心率e的值所在区间是(3,2).二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.814.)2(11111115.2316.①④三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答：p和pq都是假命题，p为真命题，q为假命题.………………2分(3,34,5)ABaa,222||310(3)(34)(5)90ABaa234041aaa；…………………………………………6分又抛物线24yx的准线为1x，q为假命题，2||124aMF，22a.…………………………………10分故所求a的取值范围为[2,1).………………………………12分18.解答：（1）设圆心坐标为（a,b)，则222222(1)(3)(3)(2)30abrabrab解得：1,2,2abr，故圆的方程为：4)2()1(22yx……………6分（2）因为z＝x＋y，即yxz，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，即可求出xy的最大和最小值.将yxz代入圆的方程，令0，或者利用圆心到直线的距离等于半径可求得最大值为：223……………………………………12分19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30第四个小矩形的高为=0.03……4分（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，[来源:学.科.网Z.X.X.K]故这次考试的及格率约为75%，………………6分由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：………………8分（3）由已知可得C组共有学生60×10×0.005=3人，则从B，C两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为12123,,,,BBCCC，共有121112(,),(,),(,),BBBCBC13(,),BC21(,),BC2223(,),(,),BCBC121323(,),(,),(,)CCCCCC等10种不同情况，其中这两个学生都来自C组有3种不同情况，∴这两个学生都来自C组的概率310P．……………………………………12分20.解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABCD，……………………4分(2)在AD上取一点O，使13AOAD，连接EO．因为13SESD，所以EO∥SA所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，．在Rt△AHO中，45HAO，2sin453HOAO，tan22EOEHOOH即二面角E-AC-D的正切值为22．……………………8分(3)当F为BC中点时，SF∥平面EAC理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD∥FC，所以12FMFCMDAD，又由题意12SEED，即SF∥EM，所以SF∥平面EAC，即当F为BC的中点时，SF∥平面EAC……………12分解法二：(1)同方法一………………………………4分(2)如图，以A为原点建立直角坐标系，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E24(0,,)33易知平面ACD的法向为(0,0,2)AS设平面EAC的法向量为(,,)nxyz，24(2,2,0),(0,,)33ACAE由00nACnAE所以020xyyz，可取(2,2,1)n所以1cos,3||||nASnASnAS所以tan,22nAS即二面角E-AC-D的正切值为22．………………………………8分[来源:Z。xx。k.Com](3)设存在F∈BC，所以SF∥平面EAC，设F(2，a，0)所以(2,,2)SFa，由SF∥平面EAC，所以0nSF，所以4-2a-2=0，即a=1，即F(2，1，0)为BC的中点.……………………………………12分21.解：（1）在直线10xy中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由题意得c=b=1，∴22a，则椭圆方程为2212x