初三数学说题教案：说一道中考压轴题

数学说题说题人：中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养。下面我就2014年我州数学中考第24题进行讲评。原题呈现：如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标。（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积。（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似。若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。一、阐述题意1、题目的已知条件（1）抛物线y=x2-1；（2）与x轴交于A、B两点；（3）与y轴交于点C;（4）AP∥CB；（5）M在x轴上方的抛物线上，且M作MGx轴于点G；（6）以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似。隐含条件为：（1）直线AP与直线CB的解析式中k值相等；（2）P点是直线AP与抛物线的交点；（3）以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似的对应关系不明确，CPByA有两种情况需要讨论；（4）对点M在抛物线上的位置不确定，要分两种情况。2、难点及关键点（1）求出直线AP的解析式，从而求出点P的坐标；（2）知道四边形ACBP是个直角梯形或者把它以x轴为界分成两个三角形，将四边形ACBP的面积转化成ABC和ABP的面积之和；（3）对于两个三角形相似两种对应关系的讨论；（4）对点M在抛物线上的位置存在两种情况的讨论。当然，对于压轴题，大部分题的难点还在于学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，这个题也不例外。二、阐述试题背景本题是我州当年的数学中考压轴题，分值12分。本题涉及的知识点有：抛物线；直角坐标；直线平行；待定系数法；四边形的面积；三角形的相似。本题是二次函数、一次函数与多边形综合的数形结合题，综合性强，而且隐含条件多，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。因此本题严格按照考试大纲的考试目标与要求来命题，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。在考查考生对初中的基础知识，基础技能的掌握程度的同时，更考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平。三、解题过程同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。本题解法如下：解：（1）令y=0，即x2-1=0，得：x1=-1、x2=1即A点的坐标为(-1，0)，B点的坐标为(1，0)令x=0，得y=-1，即C的坐标为(0，-1)∴A（-1，0）,B（1，0）,C（0，-1）（2）∵B（1，0）,C（0，-1）∴用待定系数法得直线BC解析式为：y=x-1∵AP∥CB设AP所在的直线解析式为：y=x+b则0＝-1+b，∴b＝1∴AP所在的直线解析式为：y=x+1又∵P点在抛物线y=x2-1上∴由112xyxy得X1＝-1(舍去），X2＝2∴P（2，3）∴AP＝2332122）（∵在△ABC中，AC=BC=2,AB=2∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°又∵由（1）得：AP∥CB∴四边形ACBP为直角梯形∴Ｓ梯ACBP＝21（BC+AP)AC=21（2+32）×2=4当然问题二：P点的坐标也可以构建等腰直角三角形来得出，另外，也可以不证四边形ACBP为直角梯形，直接用在坐标中根据点的坐标来求面积来解决，更简洁，如下：解法二：∵OA=OB=OC=1，∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．∵AP∥CB，∴∠PAB=45°．CPByAOx过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，令OE=a，则PE=a+1，∴P（a，a+1）∵点P在抛物线y=x2-1上，∴a+1=a2-1解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍去）．∴P（2，3），∴PE=3∴Ｓ四ACBP＝S△ABC+S△ABP＝21×2×1+21×2×3=4（3）假设存在∵由（2）得：AP＝23，∠PAC=90°，∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC=90°设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1）∵M点在X轴上方，则m＜-1或m＞1①当m＜-1时，则AG=-1-m，MG=m2-1．（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有AG：PA=MG：CA．∴（-1-m）：23=（m2-1）：2解得m1=-1（舍去）m2=32（舍去）（ⅱ）当△MAG∽△PCA时，有AG：CA=MG：PA，∴（-1-m）：2=（m2-1）：23．解得：m1=-1（舍去），m2=-2．∴M（-2，3）；②当m＞1时，则AG=m+1，MG=m2-1CPByAOxBCPByAOxGMCBEC（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有AG：PA=MG：CA∴（m+1）：23=（m2-1）：2解得m1=-1（舍去）m2=34．∴M（34，97）．（ⅱ）当△MAG∽△PCA时，有AG：CA=MG：PA，∴（m+1）：2=（m2-1）：23．解得：m1=-1（舍去），m2=4，∴M（4，15）．∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似M点的坐标为（-2，3），（34，97），（4，15）问题三解法二，上面这种讨论法可能很多学生都可以想到。而且这个问题还可以更简洁点，前面要分很多种情况来讨论，关键是：M点在抛物线的不同地方线段AG有不同的表示法，另外就是与△PCA相似的对应关系有两种情况。其实，前者问题的解决只要在线段的表示上加绝对值就好，后者把△MAG的两直角边之比分3：1和1：3即可，这样只要解方程并检验根是否符合题意就可了，解法如下：(3)由（2）得：CA⊥AP，则△PAC为直角三角形，且两直角边比为:AP:CA=3：1设M点的坐标为（m，m2-1），则N点的坐标为(m，0)∴直角△MAG两直角边长分别为：AG=|m+1|，MG=m2-1根据题意需要使1|1+m|2m=3或1|1+m|2m=31CPByAOxGM解得：m1=-2，m2=4，m3=4/3，m4=2/3（舍去）∴(m2-1)1=3，(m2-1)2=15,(m2-1)3=7/9∴M点的坐标分别为：(-2，3)，(4，15)，(4/3，7/9)四、题目变式：1、条件不变，改变结论：（1）问题2变为“求△PBC的面积”这个问题的解法思路有：1、利用“S四边形ACBP-S△PAC”来解，S四边形ACBP的面积前面有解法，求直角三角形△PAC的面积也很简单，因此，结论就可解了；2、直接求△PBC的面积，在知道了P、C两点的坐标后，得到直线PC的解析式，从而得出直线PC与X轴的交点坐标，这样就可以以X轴为界将△PAC分成以X轴上的线段为底的两个三角形，高分别是P、C点的纵坐标，问题就迎刃而解了。（2）将问题3中“在X轴上方的抛物线上是否存在一点M”变为“在抛物线上是否存在一点M”其他不变，这样在上面（3）的解法一中的讨论就要加入下面的部分：③当-1m1时，则AG=m+1，MG=1-m2（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有AG：PA=MG：CA∴（m+1）：23=（1-m2）：2解得m1=-1（舍去），m2=32∴M（32，95）（ⅱ）当△MAG∽△PCA时，有AG：CA=MG：PA∴（m+1）：2=（1-m2）：23CPByAOxG1M1M2G2CPByAOx解得m1=-1（舍去），m2=-2（舍去）∴M点的坐标为（-2，3），（34，97），（4，15），（32，95）若用解法二来解的只要将“MG=m2-1”变为“MG=|m2-1|”就好，方程的解也没变，只是把舍去的根保留，从而增加一个点M（32，95）。（3）条件结论都变，图不变：如图，抛物线关于与y轴对称，与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-1）．求抛物线的解析式；过点A作AP⊥AC交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积。在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似。若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。五、总结提炼通过以上解题和变式过程突出地体现了数学中常见的转化思想、数形结合思想、建模思想、函数思想、启发、讨论等。运用了假设存在、由已知条件推理论证、得出结论等解题规律。六、教学设计在数学课堂教学中，培养学生的思维能力是一项重要任务，那么如何激发和引导学生的思维，从而提高课堂效率呢？这就需要在课堂教学中精心创设问题情境。创设问题情境可以使学生自觉主动，深层次地参与教学。以利于其发现、理解和解决问题，学习中产生明显的意识倾向和情趣共鸣。总之，精心创设问题情境是启发引导学生学习CPByA的有效手段。教师引导：（1）题目当中有哪些已知条件？需要你求解的问题是什么？用笔划出关键词，并在图上做标记。（2）你有不知道如何用的条件吗？谁能帮忙吗？（学生答后，让学生讨论交流解决。）（3）你有不知道如何下手的求解问题吗？谁能帮忙吗？（学生答后，让学生讨论交流解决。）（4）两直线平行的解析式有何相同点？（5）四边形ACBP是个规则的四边形图形吗？（6）∆ACP是个什么特殊三角形吗？（7）题中的两个相似三角形对应关系确定吗？（8）M点的位置有几种情况？七、感悟反思通过本题教学，提示我们在平时的教学实践中，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“触类旁通”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创造性思维，数学素质，都将起作积极的推动作用。