华师中山附中高三11月月考数学试题（理科）

华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第1页共10页2010-2011学年第一学期月考试卷高三年级数学(理科)试卷参考公式：锥体的体积公式hSV31，其中S是锥体的底面面积，h是锥体的高.如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB．一、选择题(每题5分,本大题共40分)1.已知复数1zi，则2zA．i2B．i2C．i1D．i12.设全集,UR且|12Axx,2|680Bxxx,则()UCABA.[1,4)B.(2,3)C.(2,3]D.(1,4)3.椭圆221xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．14B．12C．2D．44.ABC中，3A，3BC，6AB，则CA．6B．4C．34D．4或345.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且2510,55SS==，则过点(,)nPna和2(2,)nQna++(nÎN*)的直线的斜率是A．4B．3C．2D．16.已知函数),2[)(的定义域为xf，且1)2()4(ff，)()(xfxf为的导函数，函数)(xfy的图象如图所示.则平面区域1)2(00bafba所围成的面积是A．2B．4C．5D．87.一台机床有13的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工A时,停机的概率是310,加工B时,停机的概率是25,则这台机床停机的概率为()A.1130B.307C.107D.101华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第2页共10页i=1,sum=0?sum=sum+1/[i×(i+1)]是否输出sumi=i+1结束开始ODCBA8.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()fx的图象恰好通过()nnN个整点，则称函数()fx为n阶整点函数。有下列函数：①()sin2fxx；②3()gxx③1()();3xhx④()lnxx，其中是一阶整点函数的是()A.①②③④B.①③④C.①④D.④二．填空题（每题5分，本大题共30分）9.计算3021dxx10.向量22,,,,1,1,2,2axybxycd，若1acbd，则这样的向量a有多少个．11.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是____________________.12.如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，27CD，3ABBC。则BD的长______________，AC的长______________．13.已知,,xyR且22111xyyx,则22xy.14、给出下列四个命题：①命题“0,2xRx”的否定是“0,2xRx”；②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；③若a,b；成立的概率是则不等式441,1,022ba④函数)2(log22axxy在，2上恒为正，则实数a的取值范围是25，其中真命题的序号是。（请填上所有真命题的序号）华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第3页共10页三．解答题（共80分）15.（12分）已知()fxxxxxxxcossin22sin23sin2cos23cos，（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期;(Ⅱ)当,2x,求函数)(xf的零点.16.（12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求E与D.华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第4页共10页17.（14分）如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，2AB，1BC，设AE与平面ABC所成的角为,且3tan2,四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC．（1）求三棱锥C－ABE的体积；（2）证明：平面ACD平面ADE；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO//平面ADE？证明你的结论．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q．（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第5页共10页19．（14分）已知数列na中,211111,,2nnnnnaaaaaanNn,且11,nnakna（1）求证：k1;（2）求数列na的通项公式；(3)设1()1!nnaxgxn,fx是数列gx的前n项和,求()fx的解析式;华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第6页共10页20.(14分)设函数xxaxxfln)(，其中a为常数．（1）证明：对任意Ra，)(xfy的图象恒过定点；（2）当1a时，判断函数)(xfy是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意],0(ma时，)(xfy恒为定义域上的增函数，求m的最大值．华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第7页共10页第四次月考参考答案一、选择题CCABABAC二、填空题9、610、1个11、i612、4，3(7)213、114、（2）（4）三、解答题15、解：（Ⅰ）xxxf2sin2cos)(=)42cos(2x…………………….4分故T…………………………………………………5分（Ⅱ）令0)(xf，)24cos(2x=0，又,2x……………….7分592444x3242x…………………………………………9分故58x函数)(xf的零点是58x…………….12分16、解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为1P、2P由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12PPPPPP…………3分解得：1232,43PP或1223,34PP，∴1212PPP.即，一个零件经过检测为合格品的概率为12.…………6分（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216CC…………10分（Ⅲ）依题意知～B(4,12)，1422E，114122D………………12分17.解：（１）∵四边形DCBE为平行四边形∴//CDBE∵DC平面ABC∴BE平面ABC∴EAB为AE与平面ABC所成的角，即EAB＝--------------------2分在Rｔ△ABE中，由3tan2BEAB,2AB得3BE------------3分∵AB是圆O的直径∴BCAC∴223ACABBC华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第8页共10页∴1322ABCSACBC----------------------------------------4分∴13CABEEABCABCVVSBE1313322------------------5分（2）证明：∵DC平面ABC,BC平面ABC∴DCBC．--------------------6分∵BCAC且DCACC∴BC平面ADC．∵DE//BC∴DE平面ADC---------------------------------------8分又∵DE平面ADE∴平面ACD平面ADE--------9分（3）在CD上存在点M，使得MO平面ADE，该点M为DC的中点．------------10分证明如下：如图，取BE的中点N，连MO、MN、NO，∵M、N、O分别为CD、BE、AB的中点，∴．DEMN//----------------------------------------------11分∵DE平面ADE，MN平面ADE，∴ADEMN平面//--------------------------------------------12分同理可得NO//平面ADE．∵MNNON，∴平面MNO//平面ADE．-----------------13分∵MO平面MNO，∴MO//平面ADE．-------------14分18、解：（1）由已知条件，直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程得22(2)12xkx．整理得22122102kxkx①…………………………3分直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于2221844202kkk，解得22k或22k．即k的取值范围为2222，，∞∞，……6分（2）设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，，………………７分由方程①，1224212kxxk．②又1212()22yykxx．③而(20)(01)(21)ABAB，，，，，．华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第9页共10页所以OPOQ与AB共线等价于12122()xxyy，………………12分将②③代入上式，解得22k．由（1）知22k或22k，故没有符合题意的常数k．………………14分19、.解:11nnakna故2211aaka,．……………………………………1分又因为211111,,2nnnnnaaaaaanNn则3121aaaa22a,即3322221,21,2aaakakaa又．………………………3分所以212,1kakk,……………………………………4(2)11,nnana121121nnnnnaaaaaaaa=1...21!nnn…………………………………8因为11!nnaxgxn=1nnx所以,当1x时,11123......2nnfxfn………………………9当1x时,21123...nfxxxnx……….(1)1x得23123...1nnxfxxxxnxnx……(2)2112:11...nnxfxxxxnx=11nnxnxx2111nnxnxfxxx…………………………12华南师范大学中山附属中学数学学科试卷第10页共10页综上所述:2(1),12()1,1(1)1nnnnxfxxnxxxx……………………………1420、解：（1）令0lnx，得1x，且1)1(f，所以)(xfy的图象过定点)1,1(；……………………………………………2分（2）当1a时，xxxxfln)(，222/1lnln11)(xxxxxxf………4分令1ln)(2xxxg，经观察得0)(xg有根1x，下证明0)(xg无其它根．xxxg12)(/，当0x时，0)(/xg，即)(xgy在),0(上是单调递增函数．所以0)(xg有唯一根1x；且当)1,0(x时，0)()(2/xxgxf，)(xf在)1,0(上是减函数；当),1(x时，0)()(2/xxgx