湖北省黄州区一中2012届高三10月综合测试题（数学理）

湖北省黄州区一中2012届高三10月综合测试题（数学理）命题：审题：高三数学组考试时间：2011-10-16一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知a，b，c∈R＋，若ca＋bab＋cbc＋a，则a，b，c的大小关系为A．cabB．bcaC．abcD．cba2．若0x是函数2lg)(xxxf的零点，则0x属于区间A．（0，1）B．（1，1．25）C．（1．25，1．75）D．（1．75，2）3．给出下列三个命题：①若a≥b－1，则a1＋a≥b1＋b；②若正整数m和n满足mn，则mn－m≤n2；③已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞，则a＝－2.其中假命题的个数为A．0B．1C．2D．34．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意1x,2x（12xx）．2121()()fxfxxx恒成立”的只有A．1()fxxB．()fxxC．()2fxx2D．2()fxx5．若曲线12yx在点12,aa处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则aA．64B．32C．16D．86．设10a，函数)22(log)(2xxaaaxf，则使0)(xf的x的取值范围是A．)0,(B．),0(C．)3log,(aD．),3(loga7．已知43sin()sin,0,352则2cos()3等于A．45B．35C．35D．458．若函数f（x）=212log,0,log(),0xxxx,若f（a）f（―a）,则实数a的取值范围是A．（1，0）∪（0，1）B．（∞，1）∪（1，+∞）C．（1，0）∪（1，+∞）D．（∞，1）∪（0，1）9．函数f(x)＝log2x－1log2x＋1，若f(4x1)＋f(4x2)＝1，x11，x21，则f(x1·x2)的最小值为A.23B.13C．2D.210．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分。把答案填在答题卷中的横线上。）11．已知数列{}na是以3为公差的等差数列，nS是其前n项和，若10S是数列{}nS中的唯一最小项，则数列{}na的首项1a的取值范围是。12.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．13.用max{}ab，表示a，b两个数中的最大数，设2()max{}fxxx，1()4x，那么由函数()yfx的图象、x轴、直线14x和直线2x所围成的封闭图形的面积是。14.若正数cb，，a满足14cba,则cba2的最大值为。15.给出以下四个命题：①若函数f(x)＝x3＋ax2＋2的图象关于点(1,0)对称，则a的值为－3；②若f(x＋2)＋1()fx＝0，则函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数；③在数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项和，且满足Sn＋1＝12Sn＋2，则数列{an}是等比数列；④函数y＝3x＋3－x(x＜0)的最小值为2.则正确命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）已知sin2()23sin.sinxfxxx（1）求()fx的最大值，及当取最大值时x的取值集合。（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有()(),3,fxfAaABAC若求的最大值.17．（本小题满分12分）已知函数21()(2,)2xfxxxRx，数列{}na满足11(2,),(),().nnatttRafanN（1）若数列{}na是常数列，求t的值；（2）当12a时，记1(*)1nnnabnNa，证明：数列{}nb是等比数列，并求出数列{}na的通项公式.18．（本小题满分13分）设baxfxx122)(（ba,为实常数）。（1）当1ba时，证明：)(xf不是奇函数；（2）设)(xf是奇函数，求a与b的值；（3）求（2）中函数)(xf的值域。19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x|x－a|－2.(1)当a＝1时，解不等式f(x)|x－2|；(2)当x∈(0,1]时，f(x)12x2－1恒成立，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为（12－x）2万件。（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．21．（本小题满分13分）已知()22(0)bfxaxaax的图像在点(1,(1))f处的切线与直线21yx平行.（1）求a，b满足的关系式；（2）若()2ln)fxx在[1,+上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：11111(21)()3521221nnnnn12)12ln(21nnn（n∈N*）湖北省黄州区一中2012届高三10月综合测试题（数学理）答案命题：审题：高三数学组考试时间：2011-10-161．A；2．D；3．A；4．A；5．A；6．B；7．D；8．C；9．B；10．C；11．（-30，-27）；12．(－∞，2ln2－2]；13.3512；14.210；15.①②。16．解：（Ⅰ）23sin2cos4sin()6fxxxx………………2分2()462xkkZfx当时，取得最大值为4|2,3fxxxxkkZ的最大值为，的取值集合为……4分（Ⅱ）因为()fx对定义域内任一x有()()fxfA=2()3Akkz=63AA∵为三角形内角∴分sinsinsinsinsinsinacaCaBACAA由得，c=，同理可得b=∴ABAC=22sinsin2coscos2sinsin()sin3aBCcbAABBA23113sincossinsin2(1cos2)sin(2)2226BBBBBB3B当时，ABAC最大为3122分17、解（Ⅰ）∵数列na是常数列，∴1nnaat，即212ttt，解得1t，或1t．∴所求实数t的值是1或-1．…………………………5分（Ⅱ）112,1nnnaaba,111+12111+213,321111+2nnnnnnnnnaaaabbaaaa，即*13()nnbbnN．……9分∴数列{}nb是以13b为首项，公比为3q的等比数列，于是1*333()nnnbnN．……11分由*1()1nnnabnNa,即131nnnaa，解得3131nnna．∴所求的通项公式*31()31nnnanN．…………13分18．（1）1212)(1xxxf，511212)1(2f，412121)1(f，所以)1()1(ff，)(xf不是奇函数；……………4分（2）)(xf是奇函数时，)()(xfxf，即babaxxxx112222对任意实数x成立，化简整理得0)2(2)42(2)2(2baabbaxx，这是关于x的恒等式，所以042,02abba所以21ba或21ba；……………8分（3）当21ba时，121212212)(1xxxxf，因为02x，所以112x，11210x，从而21)(21xf；所以函数)(xf的值域为)21,21(。19.解析：(1)a＝1时，f(x)|x－2|，即x|x－1|－2|x－2|.(*)当x≥2时，由(*)⇒x(x－1)－2x－2⇒0x2.又x≥2，∴x∈∅；当1≤x2时，由(*)⇒x(x－1)－22－x⇒－2x2，又1≤x2，∴1≤x2；当x1时，由(*)⇒x(1－x)－22－x⇒x∈R.又x1，∴x1.综上所述，知不等式的解集为(－∞，2)．(2)当x∈(0,1]时，f(x)12x2－1，即x|x－a|－212x2－1恒成立，也即12x－1xa32x＋1x在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝12x－1x在(0,1]上为增函数，故g(x)max＝g(1)＝－12.h(x)＝32x＋1x≥232＝6，当且仅当32x＝1x，即x＝63时，等号成立．故a∈－12，6.20解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：2(3)(12)[911]Lxaxx，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)Lxxxax(12)(1823)xax．令0L得263xa或12x（不合题意，舍去）．35a≤≤，2288633a≤≤．在263xa两侧L的值由正变负．所以（1）当28693a≤即932a≤时，2max(9)(93)(129)9(6)LLaa．（2）当2289633a≤≤即952a≤≤时，23max2221(6)63126433333LLaaaaa，所以399(6)32()1943532aaQaaa，≤，，≤≤答：若932a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值()9(6)Qaa（万元）；若952a≤≤，则当每件售价为263a元时，分公司一年的利润L最大，最大值31()433Qaa（万元）．21、解：（Ⅰ）2)(xbaxf，根据题意2)1(baf，即2ab……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，axaaxxf222)(，令xxfxgln2)()(xaxaaxln2222，1,x则0)1(g，xxaaxg22)(2=2)2)(1(xaaxxa①当10a时，12aa，若21axa，则'()0gx，()gx在[1,)减函数，所以()(1)0gxg，即()2lnfxx在[1,)上恒不成立．②1a时，21aa，当1x时，'()0gx，()gx在[1,)增函数，又(1)0g，所以()2lnfxx．综上所述，所求a的取值范围是[1,)……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知当1a时，xxfln2)(在1,上恒成立．取1a得xxxln21令11212nnx，*Nn得1212ln212121212nnnnnn，即1212ln2)1221(1221nnnn所以)121121(211212ln21121nnnnn上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得11111ln(21)3521221nnnn………13分