2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（五） Word版含解析

课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1利用同角三角函数的基本关系求值1．已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C.513D.2132．已知tanα＝34，α∈π，3π2，则cosα＝()A．±45B.45C．－45D.353．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＝________，tanα＝________．4．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈－3π2，－π.求：(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosα.题组2sinθ±cosθ与sinθcosθ关系的应用5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝59，则sinθcosθ的值为()A.23B．－23C.13D．－136．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－27．已知0＜θ＜π，且sinθ－cosθ＝15，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．题组3三角函数式的化简与证明8．化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°.9．求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[能力提升综合练]1．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.352．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－13.tanx＋1tanxsin2x等于()A．tanxB．sinxC．cosxD.1tanx4．当α≠kπ2(k∈Z)时，cosα＋1tanα(sinα＋tanα)的值()A．恒为正B．恒为负C．恒非负D．可正可负5．已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5(m≠0)，则m＝______，tanθ＝________．6．若sinx＋cosx＝2，那么sin4x＋cos4x的值为________．7．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.8．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及θ的值．答案[学业水平达标练]1.解析：选A因为α是第二象限角，所以cosα＜0，故cosα＝－1－sin2α＝－1－5132＝－1213.2.解析：选C由tanα＝34，即sinαcosα＝34，所以sinα＝34cosα.又sin2α＋cos2α＝1，代入得34cosα2＋cos2α＝1，整理得cos2α＝1625，解得cosα＝±45.又α∈π，3π2，所以cosα＜0，故cosα＝－45.3.解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝925.已知α是第三象限角，则sinα＜0，于是sinα＝－35.从而tanα＝sinαcosα＝－35×－54＝34.答案：－35344.解：(1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝2cos2α＋3cosαsinα－3sin2αsin2α＋cos2α＝2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α，则2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－14或tanα＝1.∵a∈－3π2，－π，∴α为第二象限角，∴tanα＜0，∴tanα＝－14.(2)原式＝2sinαcosα－3cosαcosα4sinαcosα－9cosαcosα＝2tanα－34tanα－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.5.解析：选A由sin4θ＋cos4θ＝59，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝59.∴sin2θcos2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝23.6.解析：选B由已知可得(cosα＋2sinα)2＝5，即4sin2α＋4sinαcosα＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α)，∴tan2α－4tanα＋4＝0，故tanα＝2.7.解：∵sinθ－cosθ＝15，∴(sinθ－cosθ)2＝125.解得sinθcosθ＝1225.∵0＜θ＜π，且sinθ·cosθ＝1225＞0，∴sinθ＞0，cosθ＞0.∴sinθ＋cosθ＝（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝1＋2425＝75.由sinθ－cosθ＝15，sinθ＋cosθ＝75，得sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝sinθcosθ＝43.8.解：原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.9.证明：法一：∵右边＝tan2α－sin2α（tanα－sinα）tanαsinα＝tan2α－tan2αcos2α（tanα－sinα）tanαsinα＝tan2α（1－cos2α）（tanα－sinα）tanαsinα＝tan2asin2α（tanα－sinα）tanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝tanαsinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα（1－cosα）＝sin2αsinα（1－cosα）＝sinα1－cosα，∴左边＝右边，原等式成立．[能力提升综合练]1.解析：选B∵sinα＝55，∴cos2α＝1－sin2α＝1－15＝45.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝552－45＝15－45＝－35.故选B.2.解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－3.3.解析：选Atanx＋1tanxsin2x＝sinxcosx＋cosxsinxsin2x＝1sinxcosx·sin2x＝sinxcosx＝tanx.4.解析：选Acosα＋1tanα(sinα＋tanα)＝sinαcosα＋cosα·sinαcosα＋sinα·cosαsinα＋1＝sinα＋cosα＋1＋sinαcosα＝(1＋sinα)(1＋cosα)．∵α≠kπ2，k∈Z，∴1＋sinα＞0，1＋cosα＞0，故选A.5.解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴（m－3）2（m＋5）2＋（4－2m）2（m＋5）2＝1.得m＝0(舍)，或m＝8.∴sinθ＝513，cosθ＝－1213，tanθ＝sinθcosθ＝－512.答案：8－5126.解析：由sinx＋cosx＝2，得2sinxcosx＝1.由sin2x＋cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1.所以sin4x＋cos4x＝1－12(2sinxcosx)2＝1－12×1＝12.答案：127.证明：法一：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2β＝tan2α－12.①∵tan2β＝sin2βcos2β，∴tan2β＝sin2β1－sin2β，∴sin2β＝sin2βsin2β＋cos2β＝sin2βcos2βsin2βcos2β＋cos2βcos2β＝tan2β1＋tan2β.②由①②，得sin2β＝tan2α－121＋tan2α－12＝tan2α－1tan2α＋1＝sin2αcos2α－1sin2αcos2α＋1＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝2sin2α－1.法二：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴sin2α＋cos2αcos2α＝2·sin2β＋cos2βcos2β.∴1cos2α＝2cos2β.∴cos2β＝2cos2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.8.解：因为已知方程有两根，所以sinθ＋cosθ＝3＋12，①sinθcosθ＝m2，②Δ＝4＋23－8m≥0.③(1)sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12.(2)对①式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝2＋32，所以sinθcosθ＝34.由②，得m2＝34，所以m＝32.由③，得m≤2＋34，所以m＝32.(3)因为m＝32，所以原方程为2x2－(3＋1)x＋32＝0.解得x1＝32，x2＝12，所以sinθ＝32，cosθ＝12或cosθ＝32，sinθ＝12.又因为x∈(0，2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.