2020版一轮复习文科数学习题第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算Word版含解析

第10节导数的概念及运算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,3,7导数的几何意义2,4,5,6,9,10,12简单综合问题8,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.下列求导数的运算中错误的是(C)(A)(3x)′=3xln3(B)(x2lnx)′=2xlnx+x(C)()′=(D)(sinx·cosx)′=cos2x解析:因为()′=,C项错误.2.(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为(C)(A)y=x(B)x=0(C)y=0(D)不存在解析:函数y=x3的导数为y′=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0.3.(2018·达州测验)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是(B)(A)af′(2)f′(4)(B)f′(2)af′(4)(C)f′(4)f′(2)a(D)f′(2)f′(4)a解析:由题中图象可知,在[2,4]上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,所以(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率=a,在点(2,f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f′(4)之间,所以f′(2)af′(4),故选B.4.(2018·河南适应性测试)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则的值为(D)(A)(B)(C)-(D)-解析:由题意,y′=3x2,当x=1时,y′|x=1=3,所以×3=-1,即=-.5.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为.解析:因为f(x)=2x2+1,所以f′(x)=4x,令4x0=-8,则x0=-2,所以f(x0)=9,所以点M的坐标是(-2,9).答案:(-2,9)6.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:17.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=.解析:由图形可知,f(3)=1,f′(3)=-,因为g′(x)=f(x)+xf′(x),所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0.答案:08.函数g(x)=lnx图象上一点P到直线y=x的最短距离为.解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=lnx相切的直线的切点坐标为(x0,lnx0),因为g′(x)=(lnx)′=,则1=,所以x0=1,则切点坐标为(1,0),所以最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·广东广州第一次调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx相切,则实数k的值为(D)(A)ln2(B)1(C)1-ln2(D)1+ln2解析:由y=xlnx得y′=lnx+1,设切点为(x0,y0),则k=lnx0+1,因为切点(x0,y0)既在曲线y=xlnx上又在直线y=kx-2上,所以所以kx0-2=x0lnx0,所以k=lnx0+,所以lnx0+=lnx0+1,所以x0=2,所以k=ln2+1.故选D10.(2018·广东东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(D)(A)(0,0)(B)(1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax.因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,所以或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是(A)(A)y=sinx(B)y=lnx(C)y=ex(D)y=x3解析:若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)·f′(x2)=-1.对于A:y′=cosx,若有cosx1·cosx2=-1,则当x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于B:y′=,若有·=-1,则x1x2=-1,因为x10,x20,所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于C:y′=ex,若有·=-1,即=-1.显然不存在这样的x1,x2;对于D:y′=3x2,若有3·3=-1,即9=-1,显然不存在这样的x1,x2.故选A.12.(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为.解析:由题意,知f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,所以g′(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x)=x2-ax+lnx,所以f′(x)=x-a+(x0).因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以f′(x)存在零点,即x+-a=0有解,所以a=x+≥2(当且仅当x=1时取等号).答案:[2,+∞)14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于.解析:设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.答案:-1或-