2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳第12章复数算法推理与证明

第十二章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bia，b∈R的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi.(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．(4)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n.考点一复数的四则运算[典例](1)(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()A．－2iB．2iC．－2D．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：2＋i1－i21－2i＝()A．2B．－2C．2iD．－2i[解析](1)∵zi＝1＋i，∴z＝1＋ii＝1i＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.(2)2＋i1－i21－2i＝－2＋i2i1－2i＝2－4i1－2i＝2，故选A.[答案](1)A(2)A[解题技法]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则2＋i3－4i2－i＝()A．5B．5iC．－75－125iD．－75＋125i解析：选A法一：2＋i3－4i2－i＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：2＋i3－4i2－i＝2＋i23－4i2＋i2－i＝3＋4i3－4i5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选D由题意，得z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－1－i，故选D.3．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20181＋i，则复数z＝________.解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝i＋i2＋i3＋…＋i20181＋i＝i＋i21＋i＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i1＋i1－i＝2i2＝i.答案：i考点二复数的有关概念[典例](1)(2019·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5B．－1C．－13D．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2[解析](1)z＝a1－2i＋i＝a1＋2i1－2i1＋2i＋i＝a5＋2a＋55i，∵复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－a5＝2a＋55，解得a＝－53.故选D.(2)∵z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－2i2＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.[答案](1)D(2)C[解题技法]紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝2－bia＋i，则a＋b等于()A．－9B．5C．13D．9解析：选A由3－4i3＝2－bia＋i，得3＋4i＝2－bia＋i，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则3a－4＝2，4a＋3＝－b，解得a＝2，b＝－11，故a＋b＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z是复数z的共轭复数，满足z＝4i1＋i，则|z|＝()A．2B．22C.22D.12解析：选B法一：由z＝4i1＋i＝4i1－i1＋i1－i＝2＋2i，得|z|＝|z|＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z|＝|z|＝4i1＋i＝|4i||1＋i|＝42＝22.故选B.3．若复数z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________．解析：由于z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数，因此a2－a－2＝0且a＋1≠0，解得a＝2.答案：2考点三复数的几何意义[典例](1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA―→，OB―→，若zz2＝z1，则z的共轭复数z＝()A.12＋32iB.12－32iC．－12＋32iD．－12－32i(2)复数z＝4i2018－5i1＋2i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析](1)由题意知z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故z(－1＋i)＝1＋2i，即z＝1＋2i－1＋i＝1＋2i1＋i－1＋i1＋i＝1－3i2＝12－32i，z＝12＋32i，故选A.(2)z＝4i2018－5i1＋2i＝4×i2016·i2－5i1－2i1＋2i1－2i＝－4－52＋i5＝－6－i，故z在复平面内对应的点在第三象限．[答案](1)A(2)C[解题技法]对复数几何意义的再理解(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z满足(2－i)z＝i＋i2，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Bz＝i＋i22－i＝－1＋i2－i＝－1＋i2＋i2－i2＋i＝－3＋i5＝－35＋15i，则复数z在复平面内对应的点为－35，15，该点位于第二象限．故选B.2．若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤2得|x＋(y－1)i|≤2，所以x2＋y－12≤2，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z＝2＋ai1＋2i，其中a为整数，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的最大值为________．解析：因为z＝2＋ai1＋2i＝2＋ai1－2i1＋2i1－2i＝2＋2a＋a－4i5，所以z在复平面内对应的点为2＋2a5，a－45，所以2＋2a5＞0，a－45＜0，解得－1＜a＜4，又a为整数，所以a的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i1－i2＝()A．－1－12iB．1＋12iC．－1＋12iD．1－12i解析：选C1＋2i1－i2＝1＋2i－2i＝1＋2ii2＝－2＋i2＝－1＋12i，选C.2．(2018·洛阳第一次统考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i1＋i为纯虚数，则a的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选C∵a－i1＋i＝a－i1－i1＋i1－i＝a－12－a＋12i为纯虚数，∴a－12＝0且a＋12≠0，解得a＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ2―→所对应的复数分别为z1，z2，则z1·z2＝()A．4＋2iB．2＋iC．2＋2iD．3＋i解析：选A由图可知，z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.4．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为()A．－20B．－2C．4D．6解析：选A因为(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以复数(z1－z2)i的实部为－20.5．(2019·太原模拟)若复数z＝1＋mi1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1,0)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：选A法一：因为z＝1＋mi1＋i＝1＋mi1－i1＋i1－i＝1＋m2＋m－12i在复平面内对应的点为1＋m2，m－12，且在第四象限，所以1＋m20，m－120，解得－1m1，故选A.法二：当m＝0时，z＝11＋i＝1－i1＋i1－i＝12－12i，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B、C、D，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z满足(1＋i)z＝i，则z的共轭复数z＝()A.12＋12iB.12－12iC．－12＋12iD．－12－12i解析：选B法一：∵(1＋i)z＝i，∴z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i2＝12＋12i，∴复数z的共轭复数z＝12－12i，故选B.法二：∵(1＋i)z＝i，∴z＝i1＋i＝2i21＋i＝1＋i221＋i＝1＋i2＝12＋12i，∴复数z的共轭复数z＝12－12i，故选B.法三：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵(1＋i)z＝i，∴(1＋i)(a＋bi)＝i，∴(a－b)＋(a＋b)i＝i，由复数相等的条件得a－b＝0，a＋b＝1，解得a＝b＝12，∴z＝12＋12i，∴复数z的共轭复数z＝12－12i，故选B.7．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z对应的点位于复平面内()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＝－3＋2ii－1＝3i2＋2ii－1＝2＋3i－1＝1＋3i，它在复平面