连续时间信号与系统的复频域分析

第4章连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换4.2单边拉氏变换的性质4.3单边拉氏反变换4.4连续系统的复频域分析4.5系统函数H(s)4.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.7系统的稳定性4.8系统函数与系统频率特性4.1拉普拉斯变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换4.1.2拉普拉斯变换的收敛域4.1.3常用信号的单边拉氏变换返回首页4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利条件时，便存在一对傅里叶变换式：deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(-返回本节4.1.2拉普拉斯变换的收敛域连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式f(s)是否存在，取决于f(t)乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：tedtetfat)(0j0收敛轴收敛域收敛坐标图4-1收敛域的划分0ja0)(1tftA图4-2右边指数衰减信号与其收敛域0ja0)(2tftA图4-3左边指数增长信号与其收敛域j0bb0)(3tft1图4-4双边信号与其收敛域返回本节4.1.3常用信号的单边拉氏变换1．单位阶跃信号2．单位冲激信号3．指数信号4．正弦信号5．t的正幂信号1．单位阶跃信号ssedtetusFstst1)()(00L即：stu1)(2．单位冲激信号1)()()()(00dttdtettsFstL即：1)(t3．指数信号asdteetuesFstatat1)()(0L即：astueat1)(4．正弦信号220011212sin)(sin)(sjsjsjdtejeedtettutsFsttjtjstL即：22)(sinstut5．t的正幂信号0)()(dtettutsFstnnL利用分部积分法，得：010100dtetsndtetsnestdtetstnstnstnstn所以：)()(1tutsntutnnLL表4-1常用信号的拉氏变换返回本节4.2单边拉氏变换的性质4.2.1线性4.2.2时移（延时）特性4.2.3尺度变换4.2.4频移特性4.2.5时域微分定理4.2.6时域积分定理4.2.7频域微分定理4.2.8频域积分定理4.2.9初值定理4.2.10终值定理4.2.11卷积定理返回首页4.2.1线性)()(),()(2211sFtfsFtf若返回本节)()()()(,2211221121sFasFatfatfaaa有和则对于任意常数4.2.2时移（延时）特性)()(sFtf若0)()()(,000stesFttuttft有则对于任意实常数)(sin0ttt0t0tsint0)()(sin0tuttt0t0（a）（b）（c）)(sin0ttutt00t)()(sin00ttuttt0t0（d）（e）图4-5几种时移情况4.2.3尺度变换)()(sFtf若0)()(1aFatfasa则4.2.4频移特性返回本节)()(sFtf若)()(asFetfat则4.2.5时域微分定理)()(sFtf若)0()0()0()()()0()()(1'21)(nnnnnffsfssFstffssFtfdtd则0tAT)(tftTA)()1(tf0)(TtAt)(tTA)()2(tf0)()1(TtA)(TtTATT（a）三角脉冲（b）三角脉冲的一阶导数（c）三角脉冲的二阶导数图4-7三角脉冲及其导数返回本节4.2.6时域积分定理)()(sFtf若sfssFdft)0()()()1(0则4.2.7频域微分定理返回本节)()(sFtf若)()(sFdsdttf则4.2.8频域积分定理返回本节)()(sFtf若sdFttf)()(则4.2.9初值定理连续可导，则：且若)(),()(tfsFtf)(lim)(lim)0(0ssFtffst例：4.2.10终值定理连续可导，则：且若)(),()(tfsFtf)(lim)(lim)(0ssFtffst例：4.2.11卷积定理1．时域卷积定理2．复频域卷积定理1．时域卷积定理，则：若)()(),()(2211sFtfsFtf)()()()(2121sFsFtftf2．复频域卷积定理，则：若)()(),()(2211sFtfsFtf)()(21)()(2121sFsFjtftf返回本节4.3单边拉氏反变换4.3.1查表法4.3.2部分分式展开法返回首页4.3.1查表法变换形式，即：表示为常用信号的拉氏将解：求其拉氏反变换。例：已知)(,841892)(22sFsssssF)(22t)(2cos2)2(2222tutesst返回本节222)2(22)(sssF)(2cos)(2)]([)(21tutetsFLtft查表得：所以：4.3.2部分分式展开法4.3.2部分分式展开法返回本节4.4连续系统的复频域分析4.4.1用拉氏变换法分析系统4.4.2用拉氏变换法分析电路返回首页4.4.1用拉氏变换法分析系统首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个代数方程求出的响应象函数包含了零输入响应和零状态响应再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。例4-18描述LTI系统的微分方程为：4.4.2用拉氏变换法分析电路1．电阻元件的s域电路模型2．电容元件的s域电路模型3．电感元件的s域电路模型4．用拉氏变换法分析电路1．电阻元件的s域电路模型电阻元件的时域伏安关系为：)()(tiRtv对上式取拉氏变换，得：)()(sRIsV)(tv)(tiRR)(sV)(sI（a）时域电路模型（b）s域电路模型图4-8电阻元件时域与s域电路模型2．电容元件的s域电路模型电容元件的时域伏安关系为：dttdvctiditvcctccc)()()()(01或：)0()()()0()()0()1()(1)(ccvscscVscIscvscscIscisscIcscV或：C)(tvc)(tic0)0(cv)(sIc)(sVcsC1svc)0(sC1)0(cvC)(sIc)(sVc（a）时域电路模型（b）s域串联电路模型（c）s域并联电路模型图4-9电容元件时域与s域电路模型3．电感元件的s域电路模型sLsiL)0()(sIL)(sVL)0(LLisL)(sIL)(sVL)(tvL)(tiLL0)0(Li（a）时域电路模型（b）s域串联电路模型（c）s域并联电路模型图4-10电感元件时域与s域电路模型4．用拉氏变换法分析电路得到一般电路的s域模型;应用电路的基本分析方法（节点法、网孔法等）和定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的方程;求解得到响应的象函数;对象函数进行拉氏反变换，即得出响应的时域解。)(tv1RCL2R)0(cv)0(Li)(1ti)(2ti1)(sV51s1s21)(1sI)(2sIs5421)(1sI)(2sI（a）时域电路模型（b）s域电路模型图4-11例4-20图)(te2R1LH11R13R1CF1)(tvcS0t)(te2te2图4-12例4-21图)(sE1s11s1)(sVcs111201s11s1)(sVczis11120)(sE1s11s1)(sVczs120（a）s域全响应电路模型（b）s域零输入响应电路模型（c）s域零状态电路模型图4-13s域电路模型返回本节4.5系统函数H(s)4.5.1系统函数的定义4.5.2系统函数的求解方法返回首页4.5.1系统函数的定义4.5.2系统函数的求解方法)(tx1R2C)(ty2R1C)(sX1R21sC)(sY2R11sC（a）时域电路模型（b）s域电路模型图4-16例4-23图返回本节4.6系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图4.6.2系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系返回首页4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图LTI连续系统的系统函数h(s)通常是复变量的有理分式，即：)()())(()()())(()()()(212101110111nimjmnnnmmmmpspspspszszszszsbasasasbsbsbsbsNsMsH例如某系统的系统函数为：)2)(2)(1()3()54)(1()3()(222jsjssssssssssH4.6.1系统函数的零、极点与零、极点图jj12j3)2(0图4-17h(s)的零、极点分布图返回本节4.6.2系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系1．左半平面极点2．虚轴上极点3．右半平面极点j0图4-18h(s)零、极点分布与时域响应特性的关系返回本节4.7系统的稳定性4.7.1稳定系统的定义4.7.2系统稳定的条件返回首页4.7.1稳定系统的定义一个连续系统，如果对于任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。即对于一个稳定系统，若输入信号：则输出响应：xMtx)(返回本节yMty)(4.7.2系统稳定的条件1．时域的稳定条件2．频域的稳定条件1．时域的稳定条件设连续时间系统的输入信号x(t)满足|x(t)|≤Mx，则系统的零状态响应：dtxhtxthty)()()()()(或写成：dtxhdtxhty)()()()()(2．频域的稳定条件（1）稳定系统（2）不稳定系统（3）临界稳定系统22)(tvi)(tvos4s222)(sVi)(sVo12F21F41（a）时域电路模型（b）域电路模型图4-19例4-24图)(sX)(sY)(sG)(sF图4-20例4-25图返回本节4.8系统函数与系统频率特性4.8.1频率特性4.8.2频率特性的矢量作图法返回首页4.8.1频率特性系统在正弦信号激励的作用下，稳态响应随着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率特性。包括幅度随频率变化而变化的幅频特性和相位随频率变化而变化的相频特性。4.8.1频率特性下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应及频率特性。设系统函数为h(s)，正弦激励信号为，其拉氏变换为：)(cos)(0tutEtx2020)(cos)(sEstutEsXL4.8.1频率特性则系统响应的拉氏变换为：00002211202)()()()(jsjAjsjApsApsApsAsEssHsYnn返回本节4.8.2频率特性的矢量作图法矢量作图法是根据系统函数h(s)在s平面的零、极点分布绘制的频率响应特性曲线，包括幅频特性曲线和相频特性曲线。设稳定的因果系统，其系统函数为：)())(()())(()(2121011011nmmnnnmmmmpspspszszszsbasasbsbsbsHniimjjmpszsb11)()(4.8.1频率特性系统的频率特性为：)())(()())((|)()(2121nmmjspjpjpjzjzjzjbsHjH