2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质

专题02函数的图象与性质【2020年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象和性质，分0a1和a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α0和α0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】（2018年江苏卷）函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【变式探究】【2017北京，文5】已知函数1()3()3xxfx，则()fx（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，()4xfx，则5()(1)2ff=.【答案】-2【解析】因为函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)fffff，所以(1)(1)ff，即(1)0f，125111()(2)()()422222ffff，所以5()(1)22ff.【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f(x)＝lgx，x0，x＋3，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()A．－3B．－1或3C．1D．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x2＋2x－30，即(x＋3)(x－1)0，解得x－3或x1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f(1)＝lg1＝0，所以f(a)＝0.当a0时，则lga＝0，a＝1；当a≤0时，则a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的真数x＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y＝tanx中，x≠kπ＋π2(k∈Z)．如果f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型2、函数的图象及其应用【例2】（2018年全国III卷）函数的图像大致为A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C，故正确答案选D.【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cosxyx的部分图像大致为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，函数sin21cosxyx为奇函数，故排除B；当πx时，0y，故排除D；当1x时，sin201cos2y，故排除A．故选C．【举一反三】【2017课标3，文7】函数2sin1xyxx的部分图像大致为（）ABD．CD【答案】D【解析】当1x时，111sin12sin12f，故排除A,C；当x时，1yx，故排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数22xyxe在2,2的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为22(2)8e,08e1f，所以排除A、B选项；当0,2x时，()=4exfxx有一零点，设为0x，当0(0,)xx时，()fx为减函数，当0(2)xx,时，()fx为增函数．故选D。【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【举一反三】(1)(2015·四川卷)函数y＝x33x－1的图象大致是()(2)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn，则n的取值范围是()A.{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}(2)答案：B解析：fx1x1＝fx1－0x1－0表示(x1，f(x1))与原点连线的斜率；fx1x1＝fx2x2＝…＝fxnxn表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))与原点连线的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况．如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选B.【方法技巧】1．关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．题型三、函数性质的综合应用例3、（2018年全国卷Ⅱ）若在是减函数，则的最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为。【变式探究】【2017天津，文6】已知奇函数()fx在R上是增函数.若0.8221(log),(log4.1),(2)5afbfcf，则,,abc的大小关系为（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab【答案】C【解析】由题意：221loglog55aff，且：0.822log5log4.12,122，据此：0.822log5log4.12，结合函数的单调性有：0.822log5log4.12fff，即,abccba，本题选择C选项.【变式探究】【2016年高考北京文数】设函数33,()2,xxxafxxxa.①若0a，则()fx的最大值为______________；②若()fx无最大值，则实数a的取值范围是________.【答案】2，(,1).【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【举一反三】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.答案：1解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.【变式探究】(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A.－16，16B.－66，66C.－13，13D.－33，33【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.(2)当x≥0时，f(x)＝－x，0≤x≤a2，－a2，a2x≤2a2，x－3a2，x2a2，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈－66，66，故选B.【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．主要的解析：奇偶性主要转化方向是f(－x)与f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．