奥数全年级一百七十九专题题库教师版556中国剩余定理及余数性质拓展教师版

1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233，233105128，12810523为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115abc是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。先由5735，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：270321245[3,5,7]233[3,5,7]kk，其中k是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。模块一、余数性质综合【例1】一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是。【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】除以3余2的数有：2、5、8、11、14除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11【答案】11【例2】有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时．又窜来4只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___个。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分【解析】56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,55的约数有：1、5、11、55，其中只有11=7+4，所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55÷11=5个.【答案】5【【巩巩固固】】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分【解析】56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。【答案】7【例3】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答例题精讲【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118=1310=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。【答案】140【【巩巩固固】】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学?【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第10题【解析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学。【答案】93【例4】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】题意相当于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。【答案】59【【巩巩固固】】有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分【解析】这个数加1能同时被2，3，4，5，6整除，而[2，3，4，5，6]=60所以这个数最小是60－1=59。【答案】59【【巩巩固固】】n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15。n最小为。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分【解析】n加上1后变成116的公倍数，所以1n最小为169571113720720，n最小为720719。【答案】720719【【巩巩固固】】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第9题【解析】那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整除，能同时被3,4,5整除最小整数位60。所以这次活动小朋友至少拿了59个玩具。【答案】59【【巩巩固固】】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有人。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分【解析】这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人【答案】59【例5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】解答【解析】这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而7,8,9504，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是570111573，而504950485047787989191，5731913，所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504361506．【答案】1506【例6】数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有几个？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】[1，2，3，4，5，6]60．三位数中60的倍数15个．所以，除了119外，还有15114（个）．【答案】14【【巩巩固固】】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3题【【解解析析】】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上2之后是24，28，32的公倍数，而[24,28,32]672，所以这批书的本数是6722k(k是整数).由于这批书少于1000本，所以k只能为1，这批书有670本.【答案】670本【例7】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，6分【解析】除以2余1，除以4余1，除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41.【答案】41【例8】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而5,7,9315，所以这个数最小为3158323．【答案】323【【