20202021学年高考数学考点第四章导数及其应用导数的概念及运算理

1导数的概念及运算1．导数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．2概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．1．（2020•新课标Ⅰ）函数43()2fxxx的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为()A．21yxB．21yxC．23yxD．21yx【答案】B【解析】由43()2fxxx，得32()46fxxx，f（1）462，又f（1）121，函数43()2fxxx的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为(1)2(1)yx，即21yx．故选B．2．（2020•新课标Ⅲ）若直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，则l的方程为()A．21yxB．122yxC．112yxD．1122yx【答案】D【解析】直线l与圆2215xy相切，那么圆心(0,0)到直线的距离等于半径55，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：21yx与yx联立，可得210xx，此时无解；对于D选项：1122yx与yx联立，可得11022xx，此时解得1x；直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，方程为1122yx，故选D．3．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sincosyxx在点(,1)处的切线方程为()A．10xyB．2210xyC．2210xyD．10xy【答案】C3【解析】由2sincosyxx，得2cossinyxx，|2cossin2xy，曲线2sincosyxx在点(,1)处的切线方程为12()yx，即2210xy．故选C．4．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线xyaexlnx在点(1,)ae处的切线方程为2yxb，则()A．ae，1bB．ae，1bC．1ae，1bD．1ae，1b【答案】D【解析】xyaexlnx的导数为1xyaelnx，由在点(1,)ae处的切线方程为2yxb，可得102ae，解得1ae，又切点为(1,1)，可得12b，即1b，故选D．5．（2018•全国）若函数2()1fxax图象上点(1，f（1）)处的切线平行于直线21yx，则(a)A．1B．0C．14D．1【答案】D【解析】函数2()1fxax的导数为()2fxax，可得点(1，f（1）)处的切线斜率为2a，由点(1，f（1）)处的切线平行于直线21yx，可得22a，解得1a，故选D．6．（2018•新课标Ⅰ）设函数32()(1)fxxaxax．若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为()A．2yxB．yxC．2yxD．yx【答案】D4【解析】函数32()(1)fxxaxax，若()fx为奇函数，()()fxfx，323232(1)((1))(1)xaxaxxaxaxxaxax．所以：22(1)(1)axax可得1a，所以函数3()fxxx，可得2()31fxx，曲线()yfx在点(0,0)处的切线的斜率为：1，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为：yx．故选D．7．（2016•山东）若函数()yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．sinyxB．ylnxC．xyeD．3yx【答案】A【解析】函数()yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数()yfx的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当sinyx时，cosyx，满足条件；当ylnx时，10yx恒成立，不满足条件；当xye时，0xye恒成立，不满足条件；当3yx时，230yx恒成立，不满足条件；故选A．8．（2016•四川）设直线1l，2l分别是函数,01(),1lnxxfxlnxx图象上点1P，2P处的切线，1l与2l垂直相交于点P，且1l，2l分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(0,)D．(1,)【答案】A【解析】设11(Px，1)y，22(Px，212)(01)yxx，当01x时，1()fxx，当1x时，1()fxx，1l的斜率111kx，2l的斜率221kx，51l与2l垂直，且210xx，1212111kkxx，即121xx．直线11111:()lyxxlnxx，22221:()lyxxlnxx．取0x分别得到1(0,1)Alnx，2(0,1)Blnx，121212|||1(1)||2()||2|2ABlnxlnxlnxlnxlnxx．联立两直线方程可得交点P的横坐标为12122xxxxx，1212121121122||||2122PABPxxSABxxxxxxx．函数1yxx在(0,1)上为减函数，且101x，111112xx，则1111012xx，112011xx．PAB的面积的取值范围是(0,1)．故选A．9．（2020•新课标Ⅲ）设函数()xefxxa，若f（1）4e，则a__________．【答案】1【解析】函数()xefxxa，2(1)()()xxaefxxa，若f（1）2(1)4aeea，21(1)4aa，则1a，故答案为：1．10．（2019•全国）若函数()(1)axfxelnx，(0)4f，则a__________．【答案】3【解析】由()(1)axfxelnx，得1()1axfxaex，(0)4f，(0)14fa，3a．故答案为：3．611．（2018•天津）已知函数()xfxelnx，()fx为()fx的导函数，则f（1）的值为__________．【答案】e【解析】函数()xfxelnx，则1()xxfxelnxex；f（1）11elnee．故答案为：e．12．（2016•天津）已知函数()(21)xfxxe，()fx为()fx的导函数，则(0)f的值为__________．【答案】3【解析】()(21)xfxxe，()2(21)xxfxexe，00(0)2(201)213fee．故答案为：3．13．（2020•上海）已知函数3()fxx，1()fx是()fx的反函数，则1()fx__________．【答案】3x【解析】由3()yfxx，得3xy，把x与y互换，可得3()fxx的反函数为13()fxx．故答案为：3x．14．（2020•新课标Ⅰ）曲线1ylnxx的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________．【答案】2yx【解析】1ylnxx的导数为11yx，设切点为(,)mn，可得112km，解得1m，即有切点(1,2)，则切线的方程为22(1)yx，即2yx，故答案为：2yx．15．（2019•天津）曲线cos2xyx在点(0,1)处的切线方程为__________．7【答案】220xy【解析】由题意，可知：1sin2yx，011|sin022xy．曲线cos2xyx在点(0,1)处的切线方程：112yx，整理，得：220xy．故答案为：220xy．16．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是__________．【答案】(,1)e【解析】设0(Ax，0)lnx，由ylnx，得1yx，001|xxyx，则该曲线在点A处的切线方程为0001()ylnxxxx，切线经过点(,1)e，0011elnxx，即00elnxx，则0xe．A点坐标为(,1)e．故答案为：(,1)e．17．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线0xy的距离的最小值是__________．【答案】4【解析】由4(0)yxxx，得241yx，设斜率为1的直线与曲线4(0)yxxx切于0(x，004)xx，由20411x，解得002(0)xx．曲线4(0)yxxx上，点(2,32)P到直线0xy的距离最小，最小值为|232|42．故答案为：4．818．（2019•新课标Ⅰ）曲线23()xyxxe在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】3yx【解析】23()xyxxe，23(31)xyexx，当0x时，3y，23()xyxxe在点(0,0)处的切线斜率3k，切线方程为：3yx．故答案为：3yx．19．（2018•新课标Ⅱ）曲线2ylnx在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】22yx【解析】2ylnx，2yx，当1x时，2y曲线2ylnx在点(1,0)处的切线方程为22yx．故答案为：22yx．20．（2018•新课标Ⅲ）曲线(1)xyaxe在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a__________．【答案】3【解析】曲线(1)xyaxe，可得(1)xxyaeaxe，曲线(1)xyaxe在点(0,1)处的切线的斜率为2，可得：12a，解得3a．故答案为：3．21．（2018•新课标Ⅱ）曲线2