20202021学年高中数学第一章数列12等差数列1212等差数列的性质及应用课后习题含解析北师大版

1第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:∵{an}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()①{an+3}②{}③{an+1-an}④{2an}⑤{2an+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{an}是等差数列,则{an+3},{an+1-an},{2an},{2an+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.2∴an=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.∴{或{若a2=1,a6=9,则d=--=2,∴an=2n-3.若a2=9,a6=1,则d=--=-2,∴an=13-2n.∴数列{an}的通项公式为an=2n-3或an=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项an.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,又因为{an}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,3此时an=a1+(n-1)d=-(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,此时an=a1+(n-1)d=(n-3).B组1.在数列{an}中,若a2=2,a6=0,且数列{}是等差数列,则a4等于()A.B.C.D.解析:令bn=,则b2=,b6==1.由题意知{bn}是等差数列,∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.∴b4=b2+2d=+2×.∵b4=,∴a4=.答案:A2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A.√B.±√C.-√D.-√解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.∴a7=,tan(a2+a12)=tan2a7=tan=-√.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意得{即{解得{所以a5=a1+4d=.答案:B4.导学号33194007在等差数列{an}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()A.无实根B.有两个相等实根4C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.又a4+a6=2a5=6,∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×100,∴无实数解.答案:A5.已知logab,-1,logba成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.解析:由已知,得logab+logba=-2,即=-2,从而有(lga+lgb)2=0,可得lga=-lgb=lg,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1.答案:16.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=.解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.可得()=2,∴d=.∴这4个根依次为.∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.答案:7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?解在数列{an}中,a1=5,公差d1=8-5=3.∴an=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{bn}中,b1=3,公差d2=7-3=4,∴bn=b1+(n-1)d2=4n-1.令an=bm,则3n+2=4m-1,∴n=-1.∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),又{解得0m≤75.∴03k≤75,∴0k≤25,∴k=1,2,3,…,25.∴两个数列共有25个公共项.8.导学号33194009已知数列{an}中,a1=,anan-1+1=2an-1(n≥2,n∈N+).数列{bn}中,bn=-(n∈N+).(1)求证:{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式,并求其最大、最小项.5(1)证明由anan-1+1=2an-1,得anan-1-an-1=an-1-1,∴----=bn,又bn-1=--,∴bn-bn-1=-----=1(n≥2,n∈N+).∵b1=-=-,∴数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知bn=n-3.5,又由bn=-得an=1+=1+-.点(n,an)在函数y=-+1的图像上.显然,在区间(3.5,+∞)上,y=-+1递减且y1;在区间(0,3.5)上,y=-+1递减且y1.因此,当n=4时,an取得最大值3;当n=3时,an取得最小值-1.