数学建模优秀论文

一、问题重述过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。目前，实际采用的打孔机普遍是单钻头作业，即一个钻头进行打孔。本问题旨在解决某类打孔机的生产效能问题。打孔机的生产效能主要取决于：（1）单个过孔的钻孔作业时间，由生产工艺决定；（2）打孔机加工作业时，钻头的行进时间；（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。某种钻头装有8种刀具，8种刀具的顺序固定，不能调换。加工作业时，一种刀具使用完毕后，可转换使用另一种刀具。相邻两刀具的转换时间是18s。作业时，可顺时针旋转转换刀具，如刀具a刀具b；也可逆时针旋转转换刀具，如刀具a刀具h。将任两个刀具转换，所需时间是相应转换时间的累加。假定钻头的行进速度相同，为180mm/s，行进成本为0.06元/mm，刀具转换的时间成本为7元/min。刀具行进过程中可同时转换刀具，但相应费用不减。不同的刀具加工不同的孔型，有的只需一种刀具来完成，有的需要多种刀具及规定的加工次序来完成。表1为10种孔型所需加工刀具及加工次序（*表示该孔型不限制加工次序）。表1：10种孔型所需加工刀具及加工次序孔型ABCDEFGHIJ所需刀具aba,cd,e*c,fg,h*d,g,fhe,cf,c同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔，再加工另一个孔，即对于须用多种刀具加工的过孔，只要保证所需刀具加工次序正确即可。建立相应的数学模型，并完成以下问题：（1）由附件1提供的某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（钻头形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，也可一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm的合作间距。（i）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？（ii）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。二、问题分析2.1问题1分析：本问题可看作为动态规划与图论的组合问题，即求取由起始状态到终点状态的最优单向路径问题，主要是运用运筹学的排序理论、图论中的Hamilton路径的相关理论知识解决问题。经分析，1T—钻头的行进时间、2T—加工不同孔型的刀具的转换时间，是本题的目标规划量。行进速度u恒定，故目标规划量可转化为等效最短路径。首先，由分析，异型孔中最远两点距离ijd小于等效换刀距离ijl，故我们建立换刀、路线分立优化原则，邻近换刀原则。在该两个原则下，我们确定了运用工序优化算法总体优化换刀次序，同型孔中计算路径最优的问题的思路，将问题分成两部分进行求解。其次，为解决在同型孔中求解最优路径，由优化的最邻近算法我们求解出初始的Hamilton回路，通过二边逐次修正算法对其进行优化，而后删去虚拟点得最优单向路径。最后，通过与最小生成树计算所得下界进行比较，对结果进行验证。2.2问题2分析问题二中，双钻头12,JJ对孔群进行加工的互相干扰，使本问题的时序性更突出，故不能简单使用求Hamilton回路法，即使用动态规划的思想，该问题这也是个典型的NP-难问题，故我们将采用改进的蚁群算法进行近似求解。我们将采取建立于蚁群算法的蚁对群算法，全局搜索出两条最短路径，以达到目标时间最短，使生产效能最高。对于（i），由于其他条件不变，故决定性条件仍为换刀时间1T，对此我们沿用问题一的两个原则。为使目标时间最小，基于两刀加工时间12,JJTT的一致性，对总换刀次数1221,JJNNNkkZ，令1NN，并使两钻头换刀次数12,JJNN尽可能相同。在优化问题上，由于存在合作间距3cm的约束条件，问题变为在连续时间内，时刻加入两钻孔12,JJ间距离12(,)3dJJcm的判断。对于（ii），将在统一模型算法下，通过改变合作间距，定量研究其对生产效能的影响。在模型验证中，将所求的路径与基于最小生成树的路径做误差分析。同时，单纯对于提高生产效能而言，与问题一结果相较，若单孔作业总时间sdTT，dT为双孔作业时间，则该模型的建立是失败的。三、模型假设1.忽略钻头的形状、材料、加工工艺等因素对钻孔作业的影响，将钻头视为质点；2.忽略所打孔的大小，将孔视为质点，以圆心坐标表示；3.假定打孔机8种刀具单独钻孔作业时间相同；4.假定对于同一孔型钻孔作业时间都是相同的；5.在问题一中，假定所有孔型的钻孔作业时间相同，经查阅资料，取该时间为0.4s；6.在问题二的(i)中，假定合作距离为3cm。四、符号说明符号说明G赋权图V点集E边集W从E从正实数集的函数(,)ijwvvG上边ijvv的权H初始得Hamilton圈ijH由二边逐次优化算法所得的Hamilton圈0t单个孔的加工时间1T钻头的行进总时间2T异型孔作业换刀总时间iv表示点集V中的点mmW等效距离矩阵1mQ激活矩阵1mR关系矩阵1mC状态矩阵m等效点的个数，2814ijw点iv到点jv的等效距离ijs点iv到点jv的实际距离ijt点iv到点jv的等效换刀距离ijn点iv到点jv的换刀次数minid等效距离矩阵中第i行中，所有满足的,1jjqc的点的对应值中最小值rt刀具转换时间，18su刀具行进速度，180/mms五、模型准备5.1Hamilton路径（回路）与TSP问题1.定义在无向图G=V,E中，穿程于G的每个节点依次且仅一次的路径称为Hamilton路径。穿程于G的每个节点依次且仅一次的回路称为Hamilton回路。2.TSP(旅行商问题)有n个城市12,nvvv，其相互间距离121323,,,vvv,为已知，求合理的路线使得每个城市都被经过一次，且总路径为最短。TSP的数学模型为：1..=11,2mijjstXin，(1)minijijijdX(2)11,1,2mijiXjn(3),1,22,{1,2}ijijnXssnsn(4)0,1,,1,2,ijXijnij(5)式(8)中1ijX表示旅行商经历ijvv的路径，0ijX表示不经过该路径；式(5)(6)要求旅行商经过,ijvv点有且仅有一次；(8)在任何一个城市的子集中不行成圈。5.2最邻近算法定理1,,GVEW是n个顶点的无向完全图，W为从E到正实数集的函数，对在V中任意三点,,ijkvvv，满足(,)(,)(,)WijWjkWik(6)则可将实际问题转化为求取赋权图上的Hamilton回路问题。具体算法如下：1)在G中取一点0vV为起始点，找出一个与始点最近的点，形成一条边的初始路径。2)设x表示最新加到这条路径上的点，从不在路径上的所有点中，选一个与x最邻近的点，把连接x与此点边加到这条路径中。重复直至G中的所有顶点包含在路径中3)把始点和最后加入的顶点之间的边放入，即得出一个回路。5.3蚁群算法：(1)状态转移规则[()][()],[()][()]0,ijikkiijikttjAllowedpttelse若(7)式中()kijPt一在t时刻蚂蚁k由元素i转移到元素j的概率；kAllowed——表示蚂蚁k下一步允许选择的城市；——信息启发式因子，表示轨迹的相对重要性；一期望启发式因子，表示能见度的相对重要性；()ijt——启发函数，()1/ijijtd；ij——残留信息量。(2)信息素修正规则()(1)()()ijijijtntt(8)1()()mijijktt(9),()0,kijQki,jLtelse若只在本次循环中（）式中,——信息素挥发系数；()ijt一表示第k只蚂蚁在本次循环中留在路径,ij上的信息量；Q——信息素强度，设为常数；kL——第后只蚂蚁在本次循环中所走过的路径的长度。(3)禁忌表ktabu的修改和表Allowed蚂蚁数后有一个表ktabu和表Allowed。初始时可以把tabu中的元素都设为0，把的元素都设为l。如果蚂蚁第1次选择了城市j，则把tabu表中第1元素赋值为j，并把表Allowed总第1j个元素赋值为0，表示此城市已经走过。算法实现步骤如下：(1)参数初始化。令循环次数0cN，将m只蚂蚁随机放在n个元素(城市)上，(),(0)0;ijijtconst；(2)循环次数1ccNN(3)蚂蚁数1kk；(4)对第k只蚂蚁，根据公式(1)选择城市j，并前进；(5)把选择的城市加入到第屉只蚂蚁的表tabu中，并修改表Allowed；(6)对于第k只蚂蚁若没有游历完所有m个城市，则转到第4步，若游历完所有城市，则执行第7步；(7)若蚂蚁数k小于蚂蚁总数n，则转到第3步，直到n只蚂蚁都游历完m个城市，再执行第8步；(8)根据式(2)、式(3)更新每条路上的信息量，并找出n只蚂蚁中，所走的最短路径的值，并保存；(9)若循环次数未达到最大循环次数，则转到第2步，若满足结束条件则结束循环，并输出计算结果。5.4数据处理1.将10种孔型按所需刀具重新编号Hh，其中,hH分别代表8种刀具、10种孔型中某一种，故得18类孔（共2814个）如下表。表格118种新孔分类列表原孔ABCDEFGHIJ新孔aAbBaCcC*dD*eDcEfE*gF*hFdGgGfGhHeIcIfJcJ另外，为叙述简便，将新的18种孔型做统一再命名，对应表格如下表格218种新孔识记表新孔aAbBaCcC*dD*eDcEfE*gF*hFdGgGfGhHeIcIfJcJ标记1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15V16V17V18V同时我们作出了相应的18种新孔的刀具分布情况，如下图。图118种新型孔的刀具分布情况2.由公式dut，将题目中缩短行进、换刀时间问题，转化为求解最短距离问题。(1)首先，将5.3数据处理中所得到的2814个点，12,mvvv，记作赋权图,GVE中点集V，其中2814m。(2)针对上步中的2814个点，依次求出两点间最短距离ijs；(3)不同的孔型需换刀具，两点间的换刀等效距离ijrltu(10)其中18rijtn(11)为两刀具之间所需的换刀时间，ijn为点iv与点jv换刀次数。六、模型的建立与求解6.1两个原则下的单向Hamilton路径的图论模型6.1.1模型建立6.1.1.1基于TSP(旅行商问题)的最短路程模型：1.最短等效路径：1)刀具行进路径：从先前位置移动到当前位置的成本。设两个位置之间的实际距离为ijd单位长度的刀具行进成本为n，则完成m个孔加工的刀具行进成本为：11,1mmijijijijfde(12)ijd——孔i和孔j之间距离；ije——该路径在优化路径上。2)换刀等效路径：设ijl打孔机1J为加工孔i后再加工不同孔型j所需的等效换刀距离，b为单位路径的换刀成本，则完成m个孔加工的换刀成本为：21,1mmijijijijijfnle(13)ijl——两点间的等效换刀路径（处理方法，见数据处理5.3）；ijn——两点之间的换刀次数。则最小化总目标：min12min()dff(14)2.模型求解思路：在换刀、路线分立优化原则，邻近换刀原则下，我们将用C语言编写工序优化算法实现总体工序优化，通过优化的最邻近算法求得初始Hamilton回路，而后用二边逐次修正算法对路径进行优化，并将虚拟点删去得单向路径。解决步骤如图2。优化最邻近算法求解初始路径工序优化算法换刀、路径分立优化原则邻近换刀原则二边逐次修正算法两个原则下，解决工序，路径问题修正工序优化路径优化加工工序去掉虚拟点确定出入口图2模型一流程图两个原则下的工序、路径优化两个原则：1)换刀、路线分立优化原则：换刀情况下，最小等效换刀距离minijlmin1818032401275.6ijlmmmilD