【新教材】数学人教B版必修第二册教学案：6.1.2-向量的加法

6.1.2向量的加法学习目标学习目标核心素养1.掌握向量加法的运算,并理解其几何意义.(重点)2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围,并能应用向量加法的运算律进行相关运算.(难点)1.通过向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习,培养直观想象.2.通过学习向量加法的运算律,培养逻辑推理.自主预习有两条拖轮牵引一艘驳船,它们的牵引力分别是F1=3000牛,F2=2000牛,牵绳之间的夹角θ=60°.如果只用一条拖轮来牵引,产生的效果跟原来的相同,试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向.一、预习教材P137~141的内容,思考以下问题:1.某人从A到B,再从B顺着原来的方向到C,此人总的位移是什么?2.湖上三个景点O,A,B,游艇将游客从景点O送至景点A,位移是什么?再将游客从景点A送至景点B,位移是什么?两次位移后游艇总的位移是什么?这三个位移之间的关系是什么?3.平面上任意两个向量的和怎么求?二、1.向量的加法法则(1)三角形法则一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,作出向量⃗⃗⃗⃗⃗,则向量⃗⃗⃗⃗⃗称为a与b的和(或和向量),记作,即a+b=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=.上述求两个向量和的作图方法,叫做向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和,有a+0=+=.向量a,b的模与a+b的模的关系:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.(2)平行四边形法则平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,则A,B,D三点不共线,以⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量⃗⃗⃗⃗⃗=.这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.(3)多边形法则已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为,第n个向量的终点为的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量加法和的多边形法则.思考:任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行?2.向量加法的运算律交换律结合律a+b=(a+b)+c=a+课堂探究题型1.向量加法运算法则的应用例1.(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):①⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=;②⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=;③⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=.(2)①如图甲所示,求作向量和a+b.②如图乙所示,求作向量和a+b+c.1.[变问法]在例1(1)条件下,求⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗.2.[变问法]在例1(1)图形中求作向量⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗.题型2.向量加法运算律的应用例2.化简下列各式:(1)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗;(2)(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗.变式训练2.如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:(1)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗;(2)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗;(3)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗.题型3.向量三角不等式的应用例3.已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是.变式训练3本例中a+b模长的最小值是.题型4.综合应用、一题多解例4.在正六边形ABCDEF中,⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,用a,b表示⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗.课堂练习1.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,则⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=()A.0B.0C.⃗⃗⃗⃗⃗D.⃗⃗⃗⃗⃗2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()A.⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0B.⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗C.⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗D.⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=03.向量(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗⃗化简后等于()A.⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.0C.0D.⃗⃗⃗⃗⃗4.设a,b都是单位向量,则|a+b|的取值范围是.核心素养专练1.下列等式不正确的个数是()①a+(b+c)=(a+c)+b;②⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0;③⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗.A.0B.1C.2D.32.已知向量a∥b,且|a||b|0,则向量a+b的方向()A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反3.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.⃗⃗⃗⃗⃗C.⃗⃗⃗⃗⃗D.⃗⃗⃗⃗⃗4.a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则()A.a∥b,且a与b方向相同B.a,b是共线向量且方向相反C.a=bD.a,b无论什么关系均可5.(多选题)已知△ABC是正三角形,给出下列等式,正确的是()A.|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|B.|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|C.|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|D.|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|6.若在△ABC中,AB=AC=1,|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=√,则△ABC的形状是()A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形7.向量(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗化简后等于.8.设正六边形ABCDEF,若⃗⃗⃗⃗⃗=m,⃗⃗⃗⃗⃗=n,则⃗⃗⃗⃗⃗=.参考答案自主预习略课堂探究例1.(1)①⃗⃗⃗⃗⃗②⃗⃗⃗⃗⃗③⃗⃗⃗⃗⃗(2)解:①首先作向量⃗⃗⃗⃗⃗=a,然后作向量⃗⃗⃗⃗⃗=b,则向量⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,如图所示.②方法一(三角形法则):如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量⃗⃗⃗⃗⃗=a,再作向量⃗⃗⃗⃗⃗=b,则得向量⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,然后作向量⃗⃗⃗⃗⃗=c,则向量⃗⃗⃗⃗⃗=(a+b)+c=a+b+c即为所求.方法二(平行四边形法则):如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,⃗⃗⃗⃗⃗=c,以OA,OB为邻边作▱OADB,连接OD,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.再以OD,OC为邻边作▱ODEC,连接OE,则⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b+c即为所求.变问法1.解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗.变问法2.解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G,则⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,作⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,连接⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,如图所示.例2.解:(1)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0.(2)(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0.变式训练2.解:(1)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗.(2)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗.(3)⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗.例3.8解析:∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,∴|a+b|的最大值为8.变式训练3.2解析:∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2,∴|a+b|的最小值为2.例4.解:方法一:根据向量的平行四边形法则有⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.在平行四边形ABCO中,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b+a=2a+b,∵⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.(或由向量加法的三角形法则,可得⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=a+a+b=2a+b.)由正六边形的知识知,⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗=2a+2b.∵⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗且⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=2a+2b-a=a+2b.方法二:∵⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗,2⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.∴⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+a+b=2a+b,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=2a+2b,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=b+a+b=a+2b.方法三:∵⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗=2a+b;⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=2a+2b;⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+2b.[课堂练习]1.A解析:∵⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0.故选A.2.C解析:如图所示.对于A选项,⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗大小相等方向相反,⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0,结论正确.对于B选项,根据向量加法的平行四边形法则可知,⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,结论正确.对于C选项,由于⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,故结论错误.对于D选项,⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗,大小相等方向相反,⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0,结论正确.故选C.3.D解析:(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,故选D.4.[0,2]解析:a,b同向时,|a+b|取最大值2,a,b异向时,|a+b|取最小值0,a,b不共线时,|a+b|在(0,2)之间,所以|a+b|的取值范围是[0,2].核心素养专练1.A2.A解析:因为a∥b,且|a||b|0,由三角形法则知向量a+b与a同向.3.C解析:设a=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗,以OP,OQ为邻边作平行四边形(图略),则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则a与⃗⃗⃗⃗⃗长度相等,方向相同,所以a=⃗⃗⃗⃗⃗.4.A解析:根据三角形法则可知,a∥b,且a与b方向相同.5.ACD解析:对于A,|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|,|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|,因为△ABC是等边三角形可得A正确;对于B,设AC的中点为O,由平行四边形法则可知|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=2|⃗⃗⃗⃗⃗|≠|⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|,故B不正确;对于C,与B中|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|变形类似可知|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|,故C正确;对于D,|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=2|⃗⃗⃗⃗⃗|,|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗|=2|⃗⃗⃗⃗⃗|,故D正确.6.D解析:设线段BC的中点为O,由平行四边形法则和平行四边形