二、随机变量及其分布(答案)

1概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布（一）一．选择题：1．设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]（A）1234111124816Xxxxxp（B）123411112488Xxxxxp（C）1234111123412Xxxxxp（D）1234111123412Xxxxxp2．设随机变量ξ的分布列为01230.10.30.40.2Xp)(xF为其分布函数，则)2(F=[C]（A）0.2（B）0.4（C）0.8（D）1二、填空题：1．设随机变量X的概率分布为0120.20.5Xpa，则a=0.32．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为313315660105()CPXC，12213315361105()CCPxC，2121331532105()CCPxC3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为1010070301210()(.)(.)(,,,,)kkkPXkCk三、计算题：1．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（1）X的概率分布；（2）(3)PX；（3）(12)PX解：（1）1236()PX，2336()PX，3436()PX，4536()PX，5636()PX，6736()PX，5836()PX，4936()PX31036()PX，21136()PX，11236()PX2所以X的概率分布列：X23456789101112P136236336436536636536436336236136（2）3336()PX（3）(12)0PX2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。解：设X=1、2、3及4分别表示一、二、三等品及废品X1234P0.60.10.20.13．已知随机变量X只能取1，0，1，2四个值，相应概率依次为1357,,,24816cccc，试确定常数c，并计算(1)PX解：由于1()Xk，即1357124816cccc所以3716C110()()()PXPXPX84123737374．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。解：X的可能取值为3、4、5。随机变量X的分布律为：3511310()PXC，23353410()CPXC，24356510()CPXCX分布函数为3030134044515.().xxFxxx5．设随机变量~(2,),~(3,)XBPYBP，若5{1}9PX，求{1}PY解：由于00225{1}1(1)1(0)1(1)9PXPXPXCpp所以13p030311819{1}1(1)1(0)111332727PYPYPYC概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布（二）一、选择题：1．设连续性随机变量X的密度函数为201()0xxfx其他，则下列等式成立的是[A]（A）(1)1PX（Ｂ）11()22PX（Ｃ）11()22PX（Ｄ）11()22PX2．设连续性随机变量X的密度函数为ln[1,]()0[1,]xxbfxxb，则常数b[A]（A）e（B）1e（C）1e（D）2e3．设2~(,)XN，要使~(0,1)YN，则[C]（A）XY（B）YX（C）XY（D）YX44．设~(0,1)XN，221()0)2xxxedtx（，则下列等式不成立的是[C]（A）()1()xx（B）(0)0.5（C）()()xx（D）(||)2()1Pxaa5．X服从参数19的指数分布，则(39)PX[C]（A）1(1)()3FF（B）3111()9ee（C）311ee（D）993xedx二、填空题：1．设连续性随机变量X的密度函数为201()0Axxfx其他，则常数A=32．设随机变量2~(2,)XN，已知(24)0.4PX，则(0)PX0.1三、计算题：1．设~(1,4),XU求(5)PX和(02.5)PX解：(5)PX=1(02.5)PX=252511105413..|.xdx2．设随机变量X的密度函数为01()120xxfxaxbx其他，且37(0)28PX求：（1）常数,ab（2）13()22PX（3）X的分布函数()Fx解：（1）由归一性120113122()()afxdxxdxaxbdxb又312013157(0)()22828abPXxdxaxb解得12,ab5由此得01()2120xxfxxx其他（2）312112133()(2)0.75224PXxdxx（3）X的分布函数01010001()(2)1212xxxtdtxFxtdttdtxx22000.5010.5211212xxxxxxx3．设某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从参数1600的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：（1）一个元件时间在200h以上的概率；（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。解：（1）1160032001200600()xPXedxe（2）设Y表示“三个元件中使用时间在200h以上元件的个数”223()()()PYPYPY1112223133333132()()()Ceeeee6概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第二章随机变量及其分布（三）1．已知X的概率分辨为21012320.132iXpaaaaa，试求：（1）常数a；（2）21YX的概率分布。解：由于201321.aaaaa，所以01.a则X的概率分布列为：2101230.20.10.30.10.10.2iXp（2）21YX的概率分布为：即22101230201030101021301038......iXPYX21103803020302....iYXP2．设随机变量X在（0，1）服从均匀分布，求：（1）XYe的概率密度；（2）2lnYX的概率密度。解：（1）当y1时，0()YFy，当y≧e时，1()YFy当1ye时，()()()(ln)XYFyPYyPeyPXy即0111()lnYyFyyyeye所以110()Yyeyfy其他7（2）当y0时，0()YFy，0()fy当y0时，22()()(ln)()yYFyPYyPXyPXe2211()yyPXee212()()ydFyfyedy即200102()yyfyey3．设~(0,1)XN，求：（1）221YX的概率密度；（2）||YX的概率密度。解：（1）221212YyFyPYyPXyPX()()()()1122()yyPX1212()y（y1）11122221()()YdFyyfydyy21212411121221yyeeyy()()8即14011121yyfyeyy()()（2）21()()()()()FyPYyPXyPyXyy（y0）22221222()yydFfyeedy（y0）即220020()yyfyey4．设随机变量X的概率密度为220()0xxfx其他，求sinYX的概率密度。解：()()(sin)(arcsinarcsin)YFyPYyPXyPXyXy1(arcsin)(arcsin)XXFyFy221111()()(arcsin)(arcsin)()YYXXdFyfyfyfydyyy2222212111arcsin(arcsin)()yyyy221y即220110()Yyfyy其他