§2-1 LTI系统的时间方程

《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程第二章线性时不变（LTI）系统的时域分析§2.1LTI系统的时间方程§2.2LTI系统的零输入响应§2.3单位冲激响应§2.4LTI系统的零状态响应§2.5卷积的性质---LTI系统的性质§2.6LTI系统的稳定性与因果性《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程§2.1LTI系统的时间方程一、LTI系统输入输出方程的建立已知系统的电路图，根据电器件的物理特性（元器件的约束条件）和电路定理（网络拓扑约束），可以建立系统的输入输出方程。连续时间LTI系统的输入输出方程，是一常系数线性微分方程。例如：电路如下，当t=0时开关由1至2，系统输出为电流，试列t0时系统的方程。V20V10)(te)(tiCLR12解：根据电路定理，可列回路电压方程：)()()()(tetututuCRL《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程V20V10)(te)(tiCLR12)()()()(tetututuCRL因为求的是回路中的电流，根据元器件的约束：)()(1)()(tedttiCtRidttdiLdttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22dttdeLtiLCdttdiLRdttid)(1)(1)()(22《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程V20V10)(te)(tiCLR12因为回路的输入电压)(1010)(20)(10)(tututute0)(1)()(22tiLCdttdiLRdttid)(te1020tdttde)()10(t)(10)(tdttde所以，当t0时当-∞＜t＜∞时)(10)(1)()(22tLtiLCdttdiLRdttid《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程系统方程只涉及到输入信号：e(t)与输出信号：i(t)，因此成为系统的输入输出方程。方程中各项的系数均是常数，且左边的各项，就是输出信号与其各阶导函数的组合，因此称方程为常系数线性微分方程。N阶常系数线性微分方程的一般形式为：MkkkkNkkkkdttxdbdttyda00)()(它是N阶线性时不变系统的系统方程。系统的输入是x(t)，输出试y(t):LTI)(tx)(ty《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程再例如：互耦电路如下，以次级回路电流为输出，试列出系统的输入输出方程。)1()()()()(211tedttdiMdttdiLtRi)(te)(2tiLRR)(1tiLM)2(0)()()(122dttdiMdttdiLtRi由（2）式：)3()()()(221dttdiMLtiMRdttdi代入（1）式，并将结果求一次导数后，再代入一次得到：dttdeMLMtiMLRdttdiMLRLdttid)()()(2)(222222222222《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程二、常系数线性微分方程的经典解法线性时不变系统的微分方程MkkkkNkkkkdttxdbdttyda00)()(只是给出了系统输入输出的一种约束关系。要求出在给定输入的输出，还必须有输入作用于系统时刻的一组边界条件。通常我们将输入x(t)作用于系统的时刻设为t=0，解方程求系统在t0时，系统的输出y(t)。经典解法是根据系统的输入和系统在t=0+时刻的一组边界条件---初始条件，将系统的输出分解为自由响应与受迫响应求解的。通常，我们知道t=0-时刻的一组边界条件---起始条件。当系统方程的自由项中不出现冲激的时候，它的初始与起始条件是相等的。《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程)()()(tytytyph例如：设有系统方程：)(3)()(2)(3)(22txdttdxtydttdydttyd且已知)()(3tutetxt1)0()0(yy试求t0时的系统响应y(t)。解：⑴求一个方程的齐次通解。解微分方程对应的特征方程：0232得到方程的特征根：1122《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程所以设系统的齐次通解为：ttheAeAty221)(⑵求方程对应自由项的特解，即受迫响应。方程的自由项)()(3)(3tuetxdttdxt于是令t0时特解tpBety3)(将其代入方程左边，并使方程平衡tpppetydttdydttyd322)(2)(3)(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程tteeBBB33)299(所以21Btpety321)(⑶求齐次通解中的待定系数，确定自由响应。)()()(tytytyphttteeAeA322121由于自由项中没有出现冲激，初始条件1)0()0()0()0(yyyy于是有211)0(21AAy2321)0(21AAy《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程所以求得271A32A最后，当t0时系统的全响应ttteeety3221327)(或表示为：)()21327()(32tueeetyttt其中，自由响应分量是：ttheety2327)(受迫响应分量是：tpety321)(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程微分方程的特解形式方程自由项的形式方程特解的形式E（常数）B（常数）ktkiiikkkktBBtBtBtB00111tetBetcostsin)sin()cos(sincos21tDtCtBtB注：⑴表中B、C、D与φ、θ均是待定常数；⑵若自由项由几种形式组合而成，对应的特解也相应地组合；⑶若特解有与齐次解的形式相同的部分，则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解形式。《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程如果方程自由项中出现了冲激或冲激及其各阶导数，方程的初始条件（t=0+）相对于起始条件（t=0-）会发生跳变。若自由项中冲激最高阶的导数的次数，大于等于方程左边响应函数的最高阶导数的次数，其受迫响应中会出现冲激或冲激及其各阶导数。例如：设有系统方程：)(4)()(2)(3)(22txdttdxtydttdydttyd且已知)()(3tuetxt1)0()0(yy试求t0时的系统响应y(t)。解：⑴求一个方程的齐次通解。由于方程左边与上例相同，它的齐次通解形式与上例相同：ttheAeAty221)(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程⑵求方程对应自由项的特解，即受迫响应。方程的自由项)()()(4)(3tuettxdttdxt于是令t0时特解tpBety3)(将其代入方程左边，并使方程在t0时平衡tpppetydttdydttyd322)(2)(3)(tteeBBB33)299(所以21Btpety321)(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程⑶求齐次通解中的待定系数，确定自由响应。)()()(tytytyphttteeAeA322121由于自由项中出现了冲激，初始条件不等于起始条件。下面根据t=0时刻的方程，求出系统输出在t=0时刻的跳变值：)0(,)0(yy系统的初始条件：)0()0()0(,)0()0()0(yyyyyyt=0时刻的系统方程：)()(2)(3)(22ttydttdydttyd《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程设此时，即t=0时刻)()(22tadttyd于是uadttdy)(0)(ty这里Δu表示从t=0-到0+的单位跳变：00)(dttu将以上三式代入t=0的系统方程中，两边冲激系数相等，求得1a于是系统输出在t=0时刻的跳变值：0)0(,1)0(yy因此，系统的初始条件为：2)0()0()0(yyy1)0()0()0(yyy《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程于是有211)0(21AAy2322)0(21AAy所以求得291A42A最后，当t0时系统的全响应ttteeety3221429)(或表示为：)()21429()(32tueeetyttt其中，自由响应分量是：ttheety2429)(受迫响应分量是：tpety321)(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程三、常系数线性差分方程及其经典解法1、常系数线性差分方程线性时不变离散时间系统，也称线性移不变系统。其数学模型是常系数线性差分方程。MkkNkkknxbknya00)()(例如：银行存款中的一种：零存整取。设存钱月息β，第n月存入x(n)，此时帐上有钱y(n)，则)1()1()()(nynynxny)()1()1()(nxnyny《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程在利用计算机对微分方程进行运算时，要用到数值方法，就是将微分方程化成近似的差分方程来进行求解的。例如：设有微分方程)()()(txtayty当t=nT时刻，以上方程为)()()(nTxnTaynTy其中，当T较小时)])1(()([1)(TnynTyTnTy所以，以上微分方程可近似由差分方程表示)())1((1)()1(nTxTnyTnTyaT)(1)1(11)(nxaTTnyaTny《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程2、常系数线性差分方程的经典解法差分方程的经典解法与微分方程的解法相似，是根据系统的输入和系统在n≥0时刻的一组边界条件---初始条件，将系统的输出分解为自由响应与受迫响应求解的：)()()(nynynyph例如：设有系统方程：)()2(61)1(65)(nxnynyny且已知)()41()(nunxn1)1()0(yy试求n≥0时的系统响应y(n)。《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§2-1线性时不变系统的时间方程解：⑴求一个方程的齐次通解。解差分方程对应的特征方程：061652得到方程的特征根：211312所以设系统的齐次通解为：nnhAA