平行线之间的动点问题(含答案)

1平行线之间的动点问题平行线的判定与性质1.判定方法:(1)同角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.2.性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.3.相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。4.区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”到“数”的说理。1、(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角)(3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．解：（1）平行．理由如下：如图，∵∠3=∠4，∴∠5=∠6，∵∠1=∠2，2∴∠1+∠5=∠2+∠6，∴a∥b；（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，∴∠1=∠2，∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底，∴∠1+∠2=180°-42°-90°=48°，∴∠1=×48°=24°，∴MN与水平线的夹角为：24°+42°=66°；（3）存在．如图①，AB与CD在EF的两侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠ACD=180°-60°-3t=120°-3t，∠BAC=110°-t，要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAF，即120°-3t=110°-t，解得t=5；此时（180°-60°）÷3=40，∴0＜t＜40，②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠DCF=360°-3t-60°=300°-3t，∠BAC=110°-t，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即300°-3t=110°-t，解得t=95°，此时（360°-60°）÷3=100，∴40＜t＜100，③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠DCF=3t-（180°-60°+180°）=3t-300°，∠BAC=t-110°，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即3t-300°=t-110°，解得t=95°，此时t＞110，∵95＜110，∴此情况不存在．3综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．解析：（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解；（3）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．2、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜4想结论，不需说明理由．证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；（3）如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．5解析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，进而得到AB∥CD；（2）过E作EF∥AB，证明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，进而得到∠BAE+∠MCD=90°；（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系3、(1)如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；(3)如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并值．（1）答：AB∥CD．证明：∵∠1=∠2，∴AB∥CD；（2）解：设∠ABF=x，则∠EBF=2x，∴∠ABE=∠ABF+∠EBF=x+2x=3x，根据三角形的内角和定理可得，∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，根据三角形的外角性质，∠1=∠E+∠ABE=∠E+3x，∵AB∥CD，∴∠1=∠DCE，∵CF平分∠DCE，∴∠ECF=∠DCE=∠1=（∠E+3x），∴∠E+2x=∠F+（∠E+3x），整理得，2∠F-∠E=x①，6∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，∴2∠F+180°-∠E=190°②，①代入②得，x+180°=190°，∴x=10°，∴∠ABE=3x=30°；（3）解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∴∠MGP=（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG，∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=（∠BPG+∠B）-∠BPG=∠B，根据前面的条件，∠B=30°，∴∠MGN=×30°=15°，∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．解解析：（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（2）设∠ABF=x，则∠ABE=3x，根据三角形内角和定理整理得到∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义表示出∠ECF=∠1，然后整理得到∠E、∠F的关系式，再根据∠F与∠E的补角的关系列出等式，然后整理即可求出x，从而得解；7（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=∠B，从而判定②正确．4、长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．(1)求点B的坐标；(2)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；(3)如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM=∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（-5，-3）．（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP=×OA×OC，即×3×AP=×5×3，∴AP=2∵OA=5，∴OP=3，∴P（-3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC=×OA×OC，即×5×PC=×5×3，∴PC=8∵OC=3，∴OP=，∴P（0，-）．综上所述，点P的坐标为（-3，0h或（0，-）．（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，∠CN7=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，∴=．解析：（1）根据第三象可点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）标先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=部NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM，得出答案．9解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（-5，-3）．（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP=×OA×OC，即×3×AP=×5×3，∴AP=2∵OA=5，∴OP=3，∴P（-3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC=×OA×OC，即×5×PC=×5×3，∴PC=∵OC=3，∴OP=，∴P（0，-）．综上所述，点P的坐标为（-3，0h或（0，-）．（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，10∠CN7=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，∴=．解析：（1）根据第三象可点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）标先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=部NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM，得出答案．5、如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行