对数与对数函数知识点及题型归纳总结

对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念(0)log(01)xaaNNnNaa且，叫做以a为底N的对数.注：①0N，负数和零没有对数；②log10,log1aaa；③10lglog,lnlogeNNNN.二、对数的运算性质(1)log()loglog(,);(2)logloglog(,);(3)loglog();log(4)log(01,0,01)logaaaaaanaacacMNMNMNRMMNMNRNMnMMRbbaabcca且且（换底公式）特殊地1log(,01,1)logabbababa且；log(5)loglog(,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log(,01).manaaNNanbbabmanRmaNNaaaNNRaa；且；且化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如log(01)ayxaa且的函数叫对数函数.（2）对数函数log(01)ayxaa且的图像和性质，如表2-7所示.logayx1a1a图像性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）图像过定点：(1,0)（4）在(0,)上是增函数（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）图像过定点：(1,0)（4）在(0,)上是减函数题型归纳及思路提示题型1对数运算及对数方程、对数不等式思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.一、对数运算例2.56552log10log0.25（）.0A.1B.2C.4D分析logloglogloglog().nmnmaaaaanxmyxyxy解析225555552log10log0.25log10log0.25log(1000.25)log52故选C.评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提.变式1已知,xy为正实数，则（）lglglglg.222xyxyAlg()lglg.222xyxyBlglglglg.222xyxyClg()lglg.222xyxyD变式222(lg2)lg4lg5(lg5)________..变式3222lg5lg8lg5lg20(lg2)3________..例2.57274log81log8________..解析324327342324433log81log3log3,log8log2log2.3322所以原式4317.326变式12log(642642)________..例2.58lg30lg0.515()3________..分析(,0)loglog.ccababab解析lg30lg0.515(),3x则lg0.5lg30lg0.5lg30111lglg5()lg5lglg30lg5lg0.5lg333x(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg15所以15x二、对数方程例2.59解下列方程：22111(1)(lglg3)lg5lg(10);22(2)log(231)1.xxxxx分析利用对数的运算性质化简后求解.解析（1）11(lglg3)lg5lg(10)22xx，首先方程中的x应满足10x，原方程可变形为lglg32lg5lg(10)xx，即25lglg310xx，得25310xx，从而15x或5x（舍），经检验，15x是原方程的解.（2）221log(231)1xxx，222210112311xxxxx且，解得2x.经检验2x是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1函数2()log(41).xfxax（1）若函数()fx是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若4a，求函数()fx的零点.三、对数不等式例2.60设01a，函数2()log22xxafxaa，则使()0fx的x的取值范围是（）.(,0)A.(0,)B.(,log3)aC.(log3,)aD分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.解析2()log220log1xxaafxaa，又01a，函数logayx在(0,)上单调递减，得22221230(3)(1)0xxxxxxaaaaaa即，因为10xa，故3xa，又01a，所以log3.ax故选.C变式1已知函数()fx为R上的偶函数，且在0,上为增函数，103f，则不等式13log0fx的解集为.例2.61设2554log4,(log3),log5,abc则（）.Aacb.Bbca.Cabc.Dbac分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点.解析因为5logyx在(0,)上单调递增，所以25545554log3log41,log51(log3)log3log41log5bac且故选D.变式1设2lg,(lg),lgaebece，则（）.Aabc.Bacb.Ccab.Dcba变式2设324log0.3log3.4log3.615,5,5abc，则（）.Aabc.Bbac.Cacb.Dcab变式4（2012大纲全国理9）已知125ln,log2,xyze，则（）.Axyz.Bzxy.Czyx.Dyzx题型2对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.一、对数函数的图像例2.62如图2-15所示，曲线1234,,,CCCC是底数分别为,,,abcd的对数函数的图像，则曲线1234,,,CCCC对应的底数,,,abcd的取值依次为（）11.3,2,,32A11.2,3,,32B11.2,3,,23C11.3,2,,23D分析给出曲线的图像，判定1234,,,CCCC所对应的,,,abcd的值，可令1y求解.解析如图2-16所示，作直线1y交1234,,,CCCC于,,,ABCD，其横坐标大小为01cdab，那么1234,,,CCCC所对应的底数,,,abcd的值可能一次为112,3,,32.故选B.评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则01cdab.log(01)ayxaa且在第一象限的图像，a越大，图像越靠近x轴；a越小，图像越靠近y轴.变式1若函数()(01)xfxaaa且是定义域为R的增函数，则函数()log(1)afxx的图像大致是（）变式2设,,abc均为正数，且11222112log,log,log22bcaabc，则（）.Aabc.Bcba.Ccab.Dbac例2.63函数log(1)2ayx的图像必过定点.分析对数函数log(01)ayxaa且的图像过定点(1,0)，即log10a.解析因为log(01)ayxaa且恒过点(1,0)，故令11,0xx即时，log(1)0ayx，故log(1)2ayx恒过顶点(0,2).变式1函数log(2)21ayxx的图像过定点.二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））例2.64设1a，函数()logafxx在区间,2aa上的最大值与最小值之差为12，则a（）分析本题考查对数函数的单调性和最值.解析因为对数函数的底1a，所以函数()logafxx在区间,2aa上单调递增，故maxmin1()log2,()log1,log212aaafxafxaa，即1log22a解得4a故选D.变式1若函数()log(01)afxxa在区间,2aa上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）2.4A2.2B1.4C1.2D例2.65设21122222(log)7log30,()loglog24xxxxfx求的最大值和最小值.解析2111122222(log)7log30(2log1)(log3)0xxxx1213log2x解得28x.又22222()(log1)(log2)(log)3log2fxxxxx.令21log,32tx，则2()()32fxgttt当3,222tx即时，minmax1();3,8,()2.4fxtxfx当即时变式1已知3()2log(1,9)fxxx，求函数22()()()gxfxfx的最大值与最小值.例2.66若函数212log(0)()log()(0)xxfxxx，且()()fafa则实数a的取值范围是.解析依题意，函数()fx的图像如图2-17所示，知()fx为奇函数，由()()fafa的得()0fa，解得(1,0)(1,)a.变式1已知函数()lgfxx，若0ab，且()()fafb，则2ab的取值范围是（）.(22,)A.32,B.(3,)C.3,D变式2定义区间1212,()xxxx的长度为21xx，已知函数12()logfxx的定义域为,ab，值域为0,2，则区间,ab的长度的最大值与最小值的差为.题型3对数函数中的恒成立问题思路提示（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.例2.67已知函数124()lg3xxafx，若,1x时有意义，求a得取值范围.解析因为124()lg3xxafx在,1x上有意义，即12403xxa在,1上恒成立.所以1142xxa在,1上恒成立.令11(),,142xxgxx.因为14xy与12xy在,1上为减函数，故()gx在,1上为增函数，所以对任意的,1x时，3()(1)4gxg.因为1142xxa在,1上恒成立，所以34a.所以a的取值范围是3,4.评注为了求a的取值范围，把a进行了分离，若()gx存在最大值，则()gxa恒成立等价于max()gxa；若()gx不存在最大值，设其值域为(),gxmn，则()gxa恒成立等价于an.变式1当(1,2)x时，不等式21logaxx恒成立，则a的取值范围是（）.(0,1)A.(1,2)B.1,2C1.0,2D变式2函数()log(3)(01)afxxaaa且，当点(,)Pxy是函数()yfx图像上的点时，点(2,)Qxay是函数()ygx图像上的点.（1）写出函数()ygx的解析式；（2）当2,3aaa时，恒有()()1fxgx，试确定a的取值范围.最有效训练题1.设0.211221log2,lo