东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合

共4页第1页东南大学考试卷（A卷）一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．22limsin1xxxx2；2．当0x时,()1arcsincosxxxx与2()xkx是等价无穷小,则k34;3．设1sinxyx，则dxydx；4．函数()exfxx在1x处带有Peano余项的二阶Taylor公式为223ee2e(1)(1)(1)2xxx；5．已知函数32esin,0()2(1)9arctan,0xaxxfxbxxx可导，则a1，b-1。二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设函数11()1exxfx，则[C]（A）0,1xx都是()fx的第一类间断点（B）0,1xx都是()fx的第二类间断点（C）0x是()fx的第一类间断点，1x是()fx的第二类间断点（D）0x是()fx的第二类间断点，1x是()fx的第一类间断点7．设函数()yyx由参数方程22ln(1)xttyt确定，则曲线()yyx在3x处的切线与x轴交点的横坐标是[C]（A）1ln238（B）1ln238（C）8ln23（D）8ln238．以下四个命题中，正确的是[C]（A）若()fx在(0,1)内连续，则()fx在(0,1)内有界学号姓名密封线共4页第2页（B）若()fx在(0,1)内连续，则()fx在(0,1)内有界（C）若()fx在(0,1)内有界，则()fx在(0,1)内有界（D）若()fx在(0,1)内有界，则()fx在(0,1)内有界9．当a取下列哪个数值时，函数32()2912fxxxxa恰有两个不同的零点[B]（A）2（B）4（C）6（D）8三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）10．011lim1exxxx222000111ee1limlimlim1e1exxxxxxxxxxxxxxx20e11limxxxx22201()21limxxxx3211。3limln12ln1xxx33limln12ln1limln2ln12ln1xxxxxxx33limln22xxxxx3ln212．111lim12nnnnn111112nnnnnnnlim1nnnn由夹逼定理得111lim112nnnnn共4页第3页13。设,)21(1)(xxxf求)()(xfn12()12fxxx()1!()(1)nnnnfxx112!(12)nnnx14．设函数()yyx由方程222sin()e0xxyxy所确定，求ddyx。222(22)cose20xxyyxyyxyy222222cosedd2cosxxxyyyxyxxy四．（本题共4道题，满分29分）15．（本题满分6分）如果以每秒350cm的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为5cm时，半径增加的速率是多少？324dddd,43ddddVVrrVrtrttdd150100,dd2rrtt16．（本题满分7分）证明不等式：12e1e(0)xxxx设12()e1exxFxx1111122222()eeeee1e()22xxxxxxxxFxx其中1112221()e1,(0)e10,()e10(0)22xxxxxx所以当0x时，()x单增，又因(0)0，所以()0x，从而()0Fx，所以()Fx单增，又因(0)0F，所以当0x时，()(0)0FxF，所要证不等式成立。17．（本题满分8分）在抛物线214yx上求一点21,4Paa，(0)a，使弦PQ的长度最短，并求最短长度，其中Q是过点P的法线与抛物线的另一个交点。法线方程2224aayx，点Q的坐标222288,4aaaa共4页第4页（2分）2232222222484481()16aaafadaaaaa2225848()0aafaa，得唯一驻点22a，当022a时，()0fa，当22a时，()0fa，22a是()fa的唯一极小值点，因而是最小值点。min22,2,63Pd18．（本题满分8分）设函数()fx在闭区间,ab上连续，在开区间,ab内可导，且(),()fabfba，证明：（1）至少存在一点,cab，使得()fcc；（2）至少存在互异的两点,,ab，使得1ff（1）令()()Fxfxx2()()(())(())()0FaFbfaafbbba，(),FxCab，所以,,()0,()cabFcfcc即（2）()(),,()fcfacbacfcaca，()(),,()fbfcaccbfbcbc，()()1ff