初中数学轴对称最短路径问题

1第11讲：轴对称【问题概述】初中数学最值问题是每年年中考必出题，更更是图论研究中的⼀一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路路径组成的）中两结点之间的最短路路径。【问题原型】“将军饮⻢马”，“造桥选址”，“费⻢马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三⻆角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】⻆角、三⻆角形、菱形、矩形、正⽅方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路路】找对称点实现“折”转“直”，近两年年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．⼀一．【⼗十⼆二个基本问题】【问题1】作法作图原理理在直线l上求⼀一点P，使PA+PB值最⼩小。连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最⼩小值为AB．【问题2】作法作图原理理在直线l上求⼀一点P，使PA+PB值最⼩小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最⼩小值为AB＇．【问题3】“将军饮⻢马”作法作图原理理在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周⻓长最⼩小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇，连P＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最⼩小值为线段P＇P＇＇的⻓长。【问题4】作法作图原理理在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周⻓长最⼩小。分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短四边形PQMN周⻓长的最⼩小值为线段Q＇P＇的⻓长。【问题5】“造桥选址”作法作图原理理2直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最⼩小。将点A向下平移MN的⻓长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M.两点之间线段最短．AM+MN+BN的最⼩小值为A＇B+MN．【问题6】作法作图原理理在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最⼩小.将点A向右平移a个⻓长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最⼩小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法作图原理理在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最⼩小．作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l1于A．点到直线，垂线段最短PA+AB的值最⼩小为P＇B【问题8】作法作图原理理A为l1上⼀一定点，B为l2上；A为l1上⼀一定点，B为l2上⼀一定点，在l2上求点M在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最⼩小．作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N.两点之间线段最短AM+MN+NB的最⼩小值为线段A＇B＇的⻓长．【问题9】作法作图原理理在直线l上求⼀一点P，使的值最⼩小.连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0.【问题10】作法作图原理理3⼆二．“⼀一次对称”常⻅见模型:【精品练习】1．如图所示，正⽅方形ABCD的⾯面积为12，△ABE是等边三⻆角形，点E在正⽅方形ABCD内，在在直线l上求⼀一点P，使的值最⼤大.作直线AB，与直线l的交点即为P．三⻆角形任意两边之差⼩小于第三边．≤AB.【问题11】作法作图原理理在直线l上求⼀一点P，使的值最⼤大.作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三⻆角形任意两边之差⼩小于第三边．≤AB＇.【问题12】“费⻢马点”作法作图原理理△ABC中每⼀一内⻆角都⼩小于120°，在△ABC内求⼀一点P，使PA+PB+PC值最⼩小．所求点为“费⻢马点”，即满⾜足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最⼩小值＝CD．4对⻆角线AC上有⼀一点P，使PD+PE的和最⼩小，则这个最⼩小值为（）A.2B.2C.3D.2．如图，在边⻓长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周⻓长的最⼩小值为（）A.2B.2C.2＋D.43．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找⼀一点M、N，使△AMN的周⻓长最⼩小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°4．如图，在锐⻆角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最⼩小值是__________。5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是__________。6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最⼩小值是_________．（注“勾股定理理”：直⻆角三⻆角形中两直⻆角边的平⽅方和等于斜边的平⽅方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2=AB2）7．如图，三⻆角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(6，0)．OC平分∠AOB,点M在OC的延⻓长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最⼩小值__________。8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周⻓长最⼩小值为__________。此时C、D两点的坐标分别为__________。9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P为x轴上⼀一动点，求PA+PB的最⼩小值和此时P点的坐标；（2）P为x轴上⼀一动点，求PA−PB的值最⼤大时P点的坐标；5（3）CD为x轴上⼀一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最⼩小值和此时C点的坐标；10．点C为∠AOB内⼀一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周⻓长最⼩小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周⻓长的最⼩小值和此时∠DCE的度数．11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三⻆角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均⼩小于120°，求作⼀一点P，使PA+PB+PC的值最⼩小，试求出最⼩小值并说明理理由．12．荆州护城河在CC＇处直⻆角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两6桥都是东⻄西、南北北⽅方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路路径最短？