三角形基本性质

-1-21DCBADCBA第三讲三角形基本性质⒈三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．⒉三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.2.BD=DC=12BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B_A-2-DCBA（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．⒋三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD是ABC的角平分线；②AD平分BAC，交BC于D；③如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=21BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE是ABC的中线；②AE是ABC中BC边上的中线；③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=21BC.(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是ABC的高；②AM是ABC中BC边上的高；③如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E；④如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90.⒌在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.图3图4ABCDE图1图2-3-⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。推理过程：一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800．二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，即∠BAC+∠B+∠C=1800．注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.图5图6图7图8BACED-4-21BACMD所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作CM∥AB由于B、C、D共线∴∠A=∠1，∠B=∠2.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD∠A.∠ACD∠B.8．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=21DAC.(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.图11图9-5-【例1】（2010江苏苏州）如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB的长度是________________。A．4B．5C．6D．7【答案】A【例2】（2010安徽省中中考）如图，直线1l∥2l，∠1＝550，∠2＝650，则∠3为________________。A）500.B）550C）600D）650【答案】C【例3】（2010广东广州，4，3分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是________________。A．2.5B．5C．10D．15【分析】由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE＝12BC＝2.5．【答案】A【涉及知识点】中位线【点评】本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．【例4】（10湖南益阳）如图3，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是________________。Ａ．P为∠A、∠B两角平分线的交点Ｂ．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点-6-Ｃ．P为AC、AB两边上的高的交点Ｄ．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】B【例5】（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是________________。A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】B【例6】（2010四川凉山）将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于________________。A．75B．60C．45D．30【答案】A【例7】（2010浙江义乌）下列长度的三条线段能组成三角形的是________________。A．1、2、3.5B．4、5、9C．20、15、8D．5、15、8【答案】C【例8】（2010重庆）如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若50C，60BDE，则CDB的度数等于________________。A．70B．100C．110D．120【答案】C【例9】（2010湖南长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能．．构成直角三角形的是________________。A、3、4、5B、6、8、10C、3、2、5D、5、12、13【答案】C．【例10】（2010四川南充）三根木条的长度如图，能组成三角形的是________________。-7-【答案】D【例11】（2010浙江衢州）如图，D，E分别是△ABC的边AC和BC的中点，已知DE=2，则AB=________________。A．1B．2C．3D．4【答案】D【例12】（2010湖南邵阳）下列长度的三条线段能组成三角形的是________________。A．1，2，3B．2，2，4C．3，4，5D．3，4，8【答案】C【例13】（2010河北）如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于________________。A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】C【例14】（2010四川巴中）如图1所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在________________。A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点2cm2cm5cm（A）2cm2cm4cm（B）2cm3cm5cm（C）2cm3cm4cm（D）(第2题)CAEDBABCD40°120°图1BCA图1-8-C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点【答案】C【例15】（2010湖北荆州）一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N.那么________________。∠CME+∠BNF是A．150°B．180°C．135°Ｄ．不能确定【答案】A【例16】（2010湖北鄂州）如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是________________。A.4B.3C.6D.5【答案】B【例17】（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为________________。A．1B．2C．3D．4【答案】C【例18】（2010云南昆明）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=________________。A．80°B．90°C．100°D．110°ABCP0P3P2P1第8题-9-【答案】D【例19】（2010福建三明）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是________________。A．4cmB．5cmC．6cmD．11cm【答案】C【例20】（2010山东东营）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250°，°，则3的度数等于________________。(A)50°(B)30°(C)20°(D)15°【答案】C【例21】（2010湖北孝感）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，则1的度数是________________。A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】C【例22】（2010安徽蚌埠）在ABC中