人教版高中数学新教材必修第一册课件：2.2-基本不等式1(共17张PPT)

讲课人：邢启强2这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。新课引入讲课人：邢启强3思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？新课引入正方形和直角三角形讲课人：邢启强4ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：SS′问：那么它们有相等的情况吗？新课引入讲课人：邢启强5ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab学习新知讲课人：邢启强6思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba学习新知讲课人：邢启强7结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？学习新知讲课人：邢启强80,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？学习新知讲课人：邢启强92abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba学习新知讲课人：邢启强10特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0学习新知讲课人：邢启强11适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式学习新知讲课人：邢启强12均值不等式的运用例１．已知x0，求的最小值和此时x的取值．1xx典型例题解：因为x0，所以1122xxxx当且仅当1xx，即21,1xx时等号成立因此所求的最小值为2变式1：把改为成立吗？0x0x变式2：把改为成立吗？0x2x不成立不成立讲课人：邢启强13均值不等式的运用典型例题例2.已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14解：因为x0,y0，所以2xyxy(1)当积xy=P为定值时，2xyp所以x+y≥2p当且仅当x=y时上式等号成立,于是当x=y时，x+y有最小值2p(2)当积x+y=S为定值时，2Sxy所以xy≤24s当且仅当x=y时上式等号成立,于是当x=y时，xy有最大值24s讲课人：邢启强14①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14归纳总结讲课人：邢启强151.已知x0,y0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．当x=6,y=4时,最小值为48222xx2.已知x0，求的最大值.巩固练习3.求x＞-1时，的最小值.1xx解:∵x＞-1,∴x+10.∴=(x+1)+-11x+1x+1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当x=0时,取最小值是1.x+1=,即x=0时,1x+1讲课人：邢启强16提高练习2已知x0,y0,且x+2y=1,求的最小值．yxu113223.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y的最小值是___.181.若0x,求x(1-2x)的最大值.12解:∵0x,∴1-2x0.12∴x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数x(1-2x)的最大值是.1418讲课人：邢启强17221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).143.利用基本不等式求最值1.重要不等式课堂小结2.基本不等式