(完整版)综合法和分析法

1．综合法的定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的成立，这种证明方法叫做综合法．已知条件定义定理公理推理论证结论【知识梳理】综合法和分析法2．综合法的框图表示P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Qn⇒Q(P表示、已有的、、等，Q表示所要)已知条件定义定理公理证明的结论3．分析法的定义从出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、、、等)为止，这种证明方法叫做分析法．要证明的结论已知条件定理定义公理4．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件综合法的应用[例1]已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.[证明]∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，∴a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③∵a，b，c不全相等，【常考题型】∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．∴①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.[类题通法]综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．[对点训练]已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：4a＋1b≥9.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴4a＋1b＝4a＋ba＋a＋bb＝4＋4ba＋ab＋1＝5＋4ba＋ab≥5＋24ba×ab＝5＋4＝9.当且仅当4ba＝ab，即a＝2b时“＝”成立.分析法的应用[例2]设a＞b＞0，求证：a2－b2＋ab－b2＞a(a－b)．[证明]因为a＞b＞0，所以a2＞ab＞b2，所以ab－b2＞0.要证a2－b2＋ab－b2＞a(a－b)，只需证a2－aba2－b2－ab－b2＞a2－aba2＋ab，只需证a2－b2－ab－b2＜a2＋ab.而a2－b2＜a2＋ab＋ab－b2显然成立．所以a2－b2＋ab－b2＞a(a－b)成立．[类题通法]分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．[对点训练]在锐角△ABC中，求证：tanAtanB＞1.证明：要证tanAtanB＞1，只需证sinAsinBcosAcosB＞1，∵A、B均为锐角，∴cosA＞0，cosB＞0.即证sinAsinB＞cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB＜0，只需证cos(A＋B)＜0.∵△ABC为锐角三角形，∴90°＜A＋B＜180°，∴cos(A＋B)＜0，因此tanAtanB＞1.综合法和分析法的综合应用[例3]已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[证明]法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得ca＋b＋ab＋c＝1，所以ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[类题通法]综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．[对点训练]设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的解析：直接证明包括综合法和分析法．答案：A【练习反馈】2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证()A．(3－5)2＜(6－8)2B．(3－6)2＜(5－8)2C．(3＋8)2＜(6＋5)2D．(3－5－6)2＜(－8)2解析：要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．答案：C3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝b＋ca＞0，1b－1＝a＋cb＞0，1c－1＝a＋bc＞0，∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填综合法、分析法)．解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．答案：综合法4．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥05．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)证明：法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝(a－b)·1b－1a＝a－b2a＋bab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.法二：(分析法)要证ab＋ba≥a＋b，只需证aa＋bb≥ab＋ba，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．