高考数学文科-等差数列与等比数列

一、等差数列：1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．通项公式：1(1)()nmaandanmd；前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad．2．等差数列na的性质（其中公差为d，前n项和为nS）：⑴()nmaanmd，nmaadnm；⑵若pqmn，则有pqmnaaaa；若2mpq，则有2mpqaaa（p，q，m，nN）；⑶等距离取出若干项也构成一个等差数列，即na，nma，2nma，为等差数列，公差为md；⑷等差数列的连续n项和也构成等差数列，即232nnnnnSSSSS，，，为等差数列，公差为2nd；⑸对于奇数项和有12121()(21)(21)2nnnaaSnna；对于偶数项和有1221()2()2nnnnaaSnnaa；若nb也为等差数列，记nS为其前n项和，则21(21)nnSnb，2121nnnnaSbS．知识结构图知识梳理等差数列与等比数列二、等比数列：3．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母(0)qq表示．等比数列中的项不为0．通项公式：11nnmnmaaqaq；前n项和公式：1111(1)111nnnnaqSaaqaqqqq，，．4．等比数列{}na的性质（其中公比为q）：⑴nmnmaaq，nnmmaqa；⑵若pqmn，则有pqmnaaaa；若2mpq，则有2mpqaaa；⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即na，nma，2nma，为等比数列，公比为mq．⑷等比数列的连续n项和也构成等比数列，即232nnnnnSSSSS，，，为等比数列，公比为nq．教师备案由于最近几年北京高考的最后一题已经固定为创新题，以集合或数列题型出现，因此常规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及，一般只在小题中出现（不过文科16题也可能考到等差等比数列题）．而在小题中的考察就以考察基本量和基本性质为主．等差数列的基本量：1a，d，n，na，nS；知道其中任意三个就可以确定另外两个；等比数列的基本量：1a，q，n，na，nS；同样也是知道其中三个就可以确定另外两个．尖子班学案1【铺1】（2011全国文6）设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k（）A．8B．7C．6D．5【解析】D考点：等差数列的基本量【例1】⑴（2009山东文13）在等差数列na中，37a，526aa，则6a________．⑵（2010辽宁文14）设nS为等差数列na的前n项和，若36324SS，，则9a．⑶已知数列na是非零等差数列，又1a，3a，9a组成一个等比数列的前三项，则1392410aaaaaa的值是（）A．1B．1316C．1或1316D．不能确定【解析】⑴13⑵15⑶C经典精讲目标班学案1【拓2】首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是．【解析】833，教师备案小题中对于等差数列性质的考查，常着手于以下方面：⑴na是等差数列na是n不超过一次的多项式（因为1()nadnad）；nS是n不超过二次的多项式且常数项必定为0（因为2122nddSnan）；nSn是等差数列，且公差为2d（因为122nSddnan）；⑵nS的最值：若0d，则nS有最小值：若10a≥，则最小值就是1S；若10a，则最小值就是前面全体非正项的和；反之，若0d，则nS有最大值：若1a≤0，则最大值就是1S；若10a，则最大值就是前面全体非负项的和；实际考试中，对10ad的情形的考查，是比较常见的．考点：等差数列的性质【例2】⑴设等差数列na的前n项和为nS，若111a，466aa，则当nS取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．9⑵（2010全国II文6）如果等差数列na中，34512aaa，那么127aaa（）A．14B．21C．28D．35⑶在等差数列na中，14739aaa，36927aaa，则数列na的前9项之和9S等于（）A．66B．99C．144D．297⑷设nS是等差数列na的前n项和，若4813SS，则816SS等于（）A．310B．13C．19D．18【解析】⑴A⑵C⑶B⑷A尖子班学案2【拓1】（2009辽宁文3）na为等差数列，且7421aa，30a，则公差d（）A．2B．12C．12D．2【解析】B目标班学案2【拓2】（2010西城二模文7）等差数列na的前n项和为nS，若70a，80a，则下列结论正确的是（）A．78SSB．1516SSC．130SD．150S【解析】C尖子班学案3【铺1】在等比数列na中，若公比4q，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式na．【解析】14n考点：等比数列的基本量【例3】⑴（2010湖北文7）已知等比数列na中，各项都是正数，且1a、312a、22a成等差数列，则91078aaaa（）A．12B．12C．322D．322⑵已知na是首项为1的等比数列，nS是na的前n项和，且369SS，则数列1na的前5项和为（）A．158或5B．3116或5C．3116D．158⑶设na是由正数组成的等比数列，nS为其前n项和．已知241aa，37S，则5S（）A．152B．314C．334D．172【解析】⑴C⑵C⑶B考点：等比数列的性质【例4】⑴（2010全国卷Ⅰ文4）已知各项均为正数的等比数列na，1235aaa，78910aaa，则456aaa（）A．52B．7C．6D．42⑵在各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则3132310logloglogaaa．⑶设等比数列na的公比1q，前n项和为nS，已知32a，425SS，则na的通项公式为．⑷各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，若2nS，314nS，则4nS等于（）A．16B．26C．30D．80【解析】⑴A⑵10．⑶2(2)nna或12(1)nna；⑷C目标班学案3【拓2】（2011年丰台区期末文5）已知等比数列na的公比为12，并且1359960aaaa，那么12399100aaaaa的值是（）A．30B．90C．100D．120【解析】B教师备案等差、等比数列在大题中出现时，前面的一二小问除了经常求通项求和式以外，还常出现根据题干已给的递推结构，证明某个变形的数列是等差或等比数列的情况．对于等差数列或等比数列的判定与证明，通常来说，只需考虑从以下角度入手：等差数列的等价条件：na是等差数列⑴定义：*nN，1nnaad，d为常数；⑵等差中项：*nN，211nnnnaaaa；⑶通项公式：*nN，naknb，,kb为常数；⑷前n项和公式：*nN，2nSAnBn，,AB为常数；⑸前n项平均值：*nN，nSn是等差数列．等比数列的等价条件：na是等比数列⑴定义：*nN，1nnaqa，q为非零常数；⑵等比中项：*nN，211nnnnaaaa，120nnnaaa；⑶通项公式：*nN，nnacq，0cq，为常数．⑷前n项和公式：*nN，nSn（常数列）或者(1)nnSq，001q，，．考点：等差数列与等比数列的判定【例5】已知数列{}na满足14a，144(2)nnana≥，令12nnba．⑴求证：数列{}nb是等差数列；⑵求数列{}na的通项公式．【解析】⑴由已知得：12nnba，1112nnba，2n≥，111122nnnnbbaa111111111422(2)2242nnnnnaaaaa，111122ba，故{}nb是首项为12，公差为12的等差数列．⑵22nan．【备选】证明：在直角三角形中，三条边的长度成等差数列的充要条件是它们的比为3:4:5．【解析】（必要性）设直角三角形的三边长成等差数列，将这三条边的长从小到大排列，它们可以表示为ad，a，ad，其中0ad；根据勾股定理，得222adaad，化简得4ad，即三角形三边长为3d，4d，5d，三边长之比为3:4:5．（充分性）如果直角三角形的三边长之比为3:4:5，则可设三边长为3ak，4bk，5ck，则82ackb，即三边长为等差数列．【例6】设数列na，nb0nb，*nN满足12lglglgnnbbban，证明nb为等比数列的充要条件是na为等差数列．【解析】（必要性）若nb为等比数列，设公比为q，则11122212111lglglg111lglglglglg2nnnnnnnbbbnabbbbqbqbqnnn，∴1111111lglglglglg222nnnnaabqbqq（常数），即数列na为等差数列；（充分性）若na为等差数列，设公差为d，则121lglglg1nnbbbnanannd，12111lglglglg11111nnnbbbbnanannd，两式相减，得11lg2nband，∴1lg21nband，两式相减，得1lglg2nnbbd，即2110dnnbb（常数），∴nb为等比数列．【拓2】数列na，nb是各项均为正数的等比数列，设()nnnbcna*N．⑴数列nc是否为等比数列？证明你的结论；⑵设数列lnna，lnnb的前n项和分别为nS，nT．若12a，21nnSnTn，求数列nc前n项和．【解析】⑴nc是等比数列．设na的公比为11(0)qq，nb的公比为22(0)qq，则11121110nnnnnnnnnncbabaqcabbaq，故nc为等比数列．⑵数列nc的前n项和为24(14)444441143nnn…．设na是等比数列，则“1q”是“数列na是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】D已知数列na的前n项和为nnSaq（0a，1q，q为非零常数），则na为（）A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列【解析】D1、（2011北京文12）在等比数列na中，若112a，44a，则公比q_____；12naaa__________．【解析】11222n，；2、（2010北京文16）已知na*()nN为等差数列，且36a，60a．⑴求na的通项公式；⑵若等比数列nb*()nN满足18b，2123baaa，求nb的前n项和．【解析】⑴10(1)2212nann．⑵nb的前n项和1(1)4(13)1nnnbqSq．【演练1】（2010海淀一模理6）已知等差数列1,,ab，等比数列3,2,5ab，则该等差数列的公差