高考文科数学练习题含解析抛物线

1课时跟踪检测（五十一）抛物线[A级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y＝2x2的准线方程是()A．x＝12B．x＝－12C．y＝18D．y＝－18解析：选D抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，其准线方程为y＝－18.2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x解析：选D由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C的方程为y2＝±2px(p＞0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线C的方程为y2＝±42x.故选D.3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝()A．194B．92C．3D．4解析：选D抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n＋1，得n＝4，故选D.4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A.43B．－43C．±43D．－169解析：选B将y＝1代入y2＝4x可得x＝14，即A14，1.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝1－014－1＝－43，故选B.25．(2019·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,23)，因此点A的坐标为(－1，23)，所以kAF＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF的倾斜角等于2π3，故选B.6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y2＝14x的焦点坐标是________．解析：由于抛物线y2＝2px的焦点坐标为p2，0，因此抛物线y2＝14x的焦点坐标为116，0.答案：116，0[B级保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为()A.5B．23C．33D．22解析：选B∵直线MF的斜率为3，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为23.故选B.2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A．相离B．相切C．相交但不经过圆心D．相交且经过圆心解析：选B设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝12(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，∴|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝12|AB|，即圆心M到准线l的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．33．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则点F到MN的距离为()A.12B．1C.3D．2解析：选B由题可知|MF|＝2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d＝|NF|，因为|NF|＝32|MN|，所以cos∠NMF＝d|MN|＝|NF||MN|＝32，所以sin∠NMF＝1－322＝12，所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF＝2×12＝1，故选B.4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是()A．4B．33C．43D．8解析：选C由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵直线AF的斜率为33，∴直线AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设Am，m24，m＞0，由|AF|＝|AH|，得m24－1＝12·m24＋1，解得m＝23，故等边△AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是12×4×4sin60°＝43.故选C.5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A12，2，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若MB―→＝λAB―→，则实数λ为()A．13B．12C．2D．3解析：选C把点A12，2代入抛物线的方程得2＝2p×12，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1,0)，设My2M4，yM，则AB―→＝－32，－2，MB―→＝－1－y2M4，－yM，由MB―→＝λAB―→，得－1－y2M4＝－32λ，－yM＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.46．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l：3x－y－a＝0与抛物线x2＝4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|＝1633，则a＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：选D∵直线l的方程为3x－y－a＝0，∴直线l的倾斜角为60°，∵直线l与抛物线x2＝4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|＝1633，∴|PQ|＝1633sin60°＝8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得3x－y－a＝0，x2＝4y，得x2－43x＋4a＝0，由Δ＞0得a＜3，∴x1＋x2＝43，x1x2＝4a，∴|PQ|＝1＋3·x1＋x22－4x1x2＝8，即48－16a＝16，∴a＝2，故选D.7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C：y2＝4x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C于点P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则k2k1＝()A．4B．3C．2D．1解析：选C设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝x1－2y1y＋2，代入抛物线C：y2＝4x，整理得y2－4x1－2y1y－8＝0，所以y1y3＝－8，即y3＝－8y1，从而x3＝16y21，故P16y21，－8y1，同理可得Q16y22，－8y2，因为M，E，N三点共线，所以y1x1－4＝y2x2－4，得y1y2＝－16，所以k2＝－8y2＋8y116y22－16y21＝8y1＋y2，k1＝y2－y1x2－x1＝y2－y1y224－y214＝4y1＋y2，所以k2k1＝2.故选C.8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为()A．22B．2C．322D．32解析：选C如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|5＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E12，2，所以N(－1，2)，M(0，22)，所以|NF|＝6，|NM|＝3，所以△MNF的面积为322，故选C.9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝32(O为坐标原点)，则OM―→·MF―→＝()A．－74B．74C．94D．－94解析：选A不妨设M(m，2pm)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为p2，0，因为|MO|＝|MF|＝32，所以m2＋2pm＝94，m＋p2＝32，解得m＝12，p＝2，所以OM―→＝12，2，MF―→＝12，－2，所以OM―→·MF―→＝14－2＝－74.故选A.10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y2＝4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为________．解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x＝－1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d＝|AF|＋|BF|2≥|AB|2，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1＝4.答案：411．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线AF的斜率为________．解析：∵双曲线x23－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2＝8x，∵|AF|＝3，∴xA＋2＝3，得xA＝1，代入抛物线方程可得yA＝±22.∵点A在第一象限，∴A(1，22)，∴6直线AF的斜率为221－2＝－22.答案：－2213．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝62，∠BAC＝α，所以sinα＝629＝223，所以|AB|＝2psin2α＝9，解得p＝4.法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，则有p1－cosα＝2×p1＋cosα，解得cosα＝13，又|AF|＝p1－cosα＝6，所以p＝4.法三：由结论1|AF|＋1|BF|＝2p，得16＋13＝2p，解得p＝4.答案：414．(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝xp，则A，B处的切线斜率的乘积为x1x2p2＝－2p，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－2p＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝x1p(x－x1)，直线BN：y－y2＝x2p(x－x2)，联立，得y－y1＝x1px－x1，y－y2＝x2px－x2，结合①式，解得x＝pk，y＝－1，即N(pk，－1)．|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k24p2k2＋8p，点N到直线AB的距离d＝|kxN＋1－yN|1＋k2＝|pk2＋2|1＋k2，7则S△ABN＝1