高斯型多维积分公式

CompanyLOGO高斯型多维积分公式报告人：肖青导师：周少武HunanUniversityofScienceandTechnology内容4、总结3、多变量函数1、研究背景2、单变量函数CollegeofMechanicalandElectricalEngineering2.1数值积分研3.1张量积研3.2稀疏网格法2.2多项式混沌展开研3.3容积量法3.4算例HunanUniversityofScienceandTechnology1.研究背景很多工程问题可以看成一个黑箱问题：黑箱可以是非线性方程组、优化模型等。上式中，若𝑋=𝑥1, … ,𝑥𝑖, … ,𝑥𝑚为一个随机向量，则输出量𝑦也是随机变量，略去具体的运算过程，可将𝑦看作随机向量𝑋的函数：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering输入X非线性传递系统输出y1imy=Hx,,x,,x(1)HunanUniversityofScienceandTechnology1.研究背景此时，输出量𝑦的𝑟阶原点矩可表示为：上式中：𝜙𝑥1, … ,𝑥𝑚为随机向量𝑋的联合概率密度分布函数。在接下来的讨论中，我们假定随机向量𝑋为独立且边际分布同一的随机向量。若随机向量𝑋为相关的随机向量，可采用Copula理论，将𝑋表示成独立且边际分布同一的随机向量：𝑋=T(𝑈)，则：y=H𝑋=HT𝑈=𝐺(𝑈)。CollegeofMechanicalandElectricalEngineeringm[]rr1m1m1Ey=Hx,,xx,,xdxdx(2)HunanUniversityofScienceandTechnology1.研究背景高斯型积分公式的基本思想是：选取若干个积分节点𝑇s=𝑡s,1, … ,𝑡𝑠,𝑚(s=1,…,𝑛)，给每个节点配予权重𝑤s，以此计算输出量𝑦的原点矩：上式中，𝐻𝑟𝑡s,1, … ,𝑡𝑠,𝑚表示函数在积分节点𝑇s=𝑡s,1, … ,𝑡𝑠,𝑚处的值。问题的核心是：如何用尽可能少的积分节点得到尽可能准确的值。CollegeofMechanicalandElectricalEngineeringnss1[]trrs,1s,mEywH,,t(3)HunanUniversityofScienceandTechnology2.单变量函数先讨论单变量函数的情况，说明高斯型积分公式是如何选择积分节点和权重的，以计算输出量𝑦的数学期望为例，若𝑦=H𝑥，则：绝对最优的积分法是不存在的，只能使积分在某种准则下最优，最常用的方法是在多项式逼近的框架下，讨论最优积分节点与权重，即：用一个𝑅阶多项式逼近被积函数H𝑥：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(4)1[]nsssEy=HxxdxwHt(5)0Rrrry=HxaxHunanUniversityofScienceandTechnology2.单变量函数此时，𝑦的数学期望为：记：则𝑦的数学期望为：思路1：数值积分（隐式方法）思路2：多项式混沌展开法（显式方法）CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(6)00[][]RRrrrrrrEyEaxaEx(7)[]()rrrmExxxdx(8)0[]RrrrEyamHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分将式（5）代入式（4）可得：如果所选的𝑛个积分节点和权重满足：则式（4）中的数值积分可以零误差（error-free）求得式（5）多项式模型的数学期望。进一步，若该多项式模型能较好地逼近H𝑥，则数值积分可以较准确地求得E[y]。CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(9)(10)11001[]nnRRnrrsssrsrssssrrsEywHtwatawt10,1,,nrssrswtmrR，HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineering图1：基于泰勒展开式对sin(x)的逼近210(1)()(21)!kkkxsinxk210(1)()(21)!kkkxsinxk210(1)()(21)!kkksinxxkHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineering图2：基于Hermite多项式对sin(x)的逼近210(1)()(21)!kkkxsinxk210(1)()(21)!kkkxsinxkHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分注意到：𝑛个积分节点和权重包含(2𝑛)个未知数，因此，最优的积分节点和权重应该满足(2𝑛)个式（10）中的方程，即：求解方程组，即可求得最优的积分节点和权重。若H𝑥本身为一个𝐿阶多项式，且𝐿≤(2𝑛−1)，则这组积分节点和权重能以零误差求得数学期望，或者说，有(2𝑛−1)阶代数精度（algebraicaccuracy）。CollegeofMechanicalandElectricalEngineering210,1,,21RnrnHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分给定概率密度函数𝜙𝑥，若任意阶Hankel矩矩阵（Hankelmomentmatrix）行列式为正：就可以𝜙𝑥为权函数，生成唯一的首一正交多项式序列：𝑃0𝑥，𝑃1𝑥，…，𝑃𝑛𝑥，…𝑃0𝑥=1CollegeofMechanicalandElectricalEngineering01121120nnnnnmmmmmmdetmmmHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineering01112112212111()1nnnnnnnnnnnnmmmmmmmmPxdetDmmmmxxx011121122nnnnnnmmmmmmDdetmmm(11)HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分比如，若𝜙𝑥为标准正态分布的概率密度函数：则以𝜙𝑥为权函数的正交多项式为Hermite多项式：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering221()2xxe01223311()1()()1()3()()()nnnPxPxxPxxPxxxPxxPxnPxHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分1）正交多项式满足三项递推关系：2）𝑛阶正交多项式的𝑛个根，就是积分节点𝑡𝑠（𝑠=1,…,𝑛）。3）这𝑛个根（积分节点）两两互不相等。4）权重可求解如下线性方程组求得：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(12)12()()()()nnnnnnPxAxBPxCPxHunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分CollegeofMechanicalandElectricalEngineering011212222122n-1n-1n-1121111nnnnnmwtttmwtttmwtttm(13)10,1,,nrssrswtmrR，HunanUniversityofScienceandTechnology2.1数值积分总结，求解式（4）中积分的步骤如下：1）求出𝑥的前(2𝑛−1)阶统计矩𝑚𝑟（𝑟=0,1…,2𝑛−1）。2）根据式（11）求得𝑛阶正交多项式，求出𝑛个根𝑡𝑠（𝑠=1,…,𝑛），作为积分节点。3）根据式（13）求得积分权重𝑤𝑠。4）计算积分。CollegeofMechanicalandElectricalEngineering1[]nsssEy=HxxdxwHtHunanUniversityofScienceandTechnology2.2多项式混沌展开正交多项式的正交性记𝑃0𝑥，𝑃1𝑥，…，𝑃𝑘𝑥，…是以𝜙𝑥为权函数的首一正交多项式序列，则：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering(14)10(),()()()()krkrrrkrPxPx=PxPxxdxDkrD(15)011121122212121rrrrrrrrrrrrrmmmmmmmmDdetmmmmmmmmHunanUniversityofScienceandTechnology2.2多项式混沌展开CollegeofMechanicalandElectricalEngineering01112112212111()1rrrrrrrrrrrrmmmmmmmmPxdetDmmmmxxx,()()()[()]iiirrrxPxxPxxdxExPxHunanUniversityofScienceandTechnology2.2多项式混沌展开CollegeofMechanicalandElectricalEngineering0111211221211011121112221111,()11rrrriirrrrrrrrrrrrrrrrririiirmmmmmmmmxPxExdetDmmmmxxxmmmmmmmmEdetDmmmmxxxxHunanUniversityofScienceandTechnology2.2多项式混沌展开CollegeofMechanicalandElectricalEngineering01112111222111011121112221111,()[][][][]1rrrrirrrrrririiirrrrrrrrrririiirmmmmmmmmxPxdetDmmmmExExExExmmmmmmmmdetDmmmmmmmmHunanUniversityofScienceandTechnology2.2多项式混沌展开当𝑖=0,1,…,𝑟−1时：当𝑖=𝑟时：记：则：CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,()0irxPx1,()irrrDxPxD0()kikiiPxbx000()()()()kikrirkirkrPxPx=bxPxbxPxkr，，，HunanUniversityofS